Use o teorema de Stokes para calcular ∬ S r o tF → ⋅ d S . F → x , y , z = x 2 z 2 i → + y 2 z 2 j → + x y z k → S é o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 16 , y ≥ 0 , orientado em direção do eixo positivo de y .

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.8 - Ex. 3

Use o teorema de Stokes para calcular .

S é o hemisfério , orientado em direção do eixo positivo de .

Passo 1

Fala, galerinha! De boa?

Nossa questão aqui pede pra gente usar o Teorema de Stokes para calcular:

Onde é:

E é o hemisfério

orientado em direção do eixo positivo de .

Pessoal, o Teorema de Stokes é dado por

onde é a curva fechada que forma a fronteira, simples, suave por partes e com orientação positiva. E para a integral de linha temos que:

Então, precisamos encontrar o vetor através da parametrização da nossa curva . Com esse vetor em mãos, fazemos o produto escalar entre o vetor da função aplicada nos parâmetros de e o vetor resultante de derivada de : .

Daí, é só resolvermos nossa integral normalmente!

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar identificando nossa curva . Pela descri��ão do enunciado é o hemisfério (metade de uma esfera), dado pela equação:

orientado em direção do eixo positivo de .

Nossa curva vai ser a interseção da esfera com o plano . Então, vamos fazer na equação da esfera:

Então, ficamos com um círculo de raio , centrado na origem. Podemos parametrizar nossa circunferência usando a mesma lógica de coordenadas polares:

Como nosso raio é , nossa parametrização será:

Colocando cada variável como componente de um vetor paramétrico, temos:

Passo 3

Agora já podemos procurar os dois termos que vão ser integrados: e

Derivando esse vetor

em relação a , temos:

Escrevendo o campo vetorial:

Em função das equa��ões parametrizadas

Temos:

Portanto, a função campo parametrizada é:

Passo 4

Como nossa equação é:

Nem precisamos fazer o produto escalar e a integral em para vermos que nossa integral dará zero!

Portanto, usando o Teorema de Stokes:

Resposta

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