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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.8 - Ex. 42

Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados.

  • Exercício 52

Passo 1

Pra relembrar o que pede nesse exercício: A base de um aquário com volume V   é feita de ardósia e os lados são de vidro. Se o preço da ardósia (por unidade de área) equivale a cinco vezes o preço do vidro, determine as dimensões do aquário para minimizar o custo do material.

Vamos colocar que as dimensões da caixa são x ,   y   e   z .

O volume então é V = x y z .

O custo nesse caso é dado por:

C x , y , z = 5 x y + 2 x z + 2 y z

Queremos então o mínimo da função C com a restrição de V .

Pelos multiplicadores de Lagrange, precisamos de:

∇ f x , y , z = λ ∇ g x , y , z

Passo 2

Trazendo pro nosso caso temos:

5 y + 2 z ,   5 x + 2 z ,   2 x + 2 y = λ y z ,   x z , x y

5 y + 2 z = λ y z

5 x + 2 z = λ x z

2 x + 2 y = λ x y

Pela função do volume, nenhuma das letras pode valer zero.

Vamos isolar o λ então...

λ = 5 y + 2 z y z = 5 x + 2 z x z = 2 x + 2 y x y

5 y + 2 z y z = 5 x + 2 z x z → 5 x y + 2 x z = 5 x y + 2 z y

2 x z = 2 z y → x = y

E das duas últimas, chegamos em x = 2 z 5 = y .

Passo 3

Substituímos na restrição agora...  

V = x y z

V = 2 z 5 2 z 5 z

V = 4 z 3 25

z 3 = 25 4 V

z = 25 4 V 3

E então, x = y = 2 5 25 4 V 3

Essas são as dimensões então que minimizam o custo.

Resposta

x = y = 2 5 25 4 V 3   e   z = 25 4 V 3

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