Teste a convergência ou divergência das séries.

Vamos agora separar a fração em partes mais simples usando frações parciais, que são uma maneira de decompor uma fração complicada em uma soma de frações mais simples.

Decompondo a fração, teremos:

Multiplicando ambos os lados por para encontrar e :

Agora, precisamos expandir e organizar o lado direito da equação para compará-lo com o lado esquerdo:

Juntando os termos semelhantes:

Agora, vamos comparar os coeficientes de e os termos constantes em ambos os lados da equação.

No lado esquerdo, o coeficiente de é (porque está sozinho) e o termo constante é .

Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

1. O coeficiente de :
2. O termo constante:

Substituímos na primeira equação:

Portanto, encontramos e . Agora podemos reescrever a fração original usando esses valores:

Agora que temos a expressão simplificada, vamos usar o teste da integral para verificar a convergência da série. Integraremos a expressão de até o infinito:

Para a primeira integral:

Avaliando os limites:

Para a segunda integral:

Avaliando os limites:

Como a soma de uma integral que diverge resulta em uma divergência, concluímos que a integral diverge.

Como a integral diverge, isso significa que a série também diverge.