Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.7 - Ex. 2
Teste a convergência ou divergência das séries.
Passo 1
Olá pessoal, tudo bem?
Nesse exercício vamos analisar a convergência da série .
Para isso. Vamos usar uma técnica chamada teste da integral para determinar se a série é convergente ou divergente. Mas antes, precisamos simplificar um pouco a expressão .
Podemos reescrever o denominador como :
Passo 2
Vamos agora separar a fração em partes mais simples usando frações parciais, que são uma maneira de decompor uma fração complicada em uma soma de frações mais simples.
Decompondo a fração, teremos:
Multiplicando ambos os lados por para encontrar e :
Agora, precisamos expandir e organizar o lado direito da equação para compará-lo com o lado esquerdo:
Juntando os termos semelhantes:
Agora, vamos comparar os coeficientes de e os termos constantes em ambos os lados da equação.
No lado esquerdo, o coeficiente de é (porque está sozinho) e o termo constante é .
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
- O coeficiente de :
- O termo constante:
Substituímos na primeira equação:
Portanto, encontramos e . Agora podemos reescrever a fração original usando esses valores:
Passo 3
Agora que temos a expressão simplificada, vamos usar o teste da integral para verificar a convergência da série. Integraremos a expressão de até o infinito:
Para a primeira integral:
Avaliando os limites:
Para a segunda integral:
Avaliando os limites:
Como a soma de uma integral que diverge resulta em uma divergência, concluímos que a integral diverge.
Como a integral diverge, isso significa que a série também diverge.
Resposta
A série é é divergente.