Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente.

∑ k = 1 ∞ 1 k !

Passo 1

Opa, pessoal! Firmeza?

Aqui o próprio enunciado já nos dá o teste que devemos usar, nesse caso é o teste da razão. Caso você não se lembre funciona assim: Calculamos o limite:

lim k → ∞ ⁡ a k + 1 a k = L      

Se L > 1 a serie diverge, e se L < 1 , a série converge.

Vamos em frente!

Passo 2

Aqui teremos:

a k = 1 k !

E pra achar a k + 1 , substituímos k por k + 1 em a k :

a k + 1 = 1 ( k + 1 ) !

Vamos aplicar no limite que precisamos calcular:

L = lim k → ∞ ⁡ 1 k + 1 ! 1 k ! = l i m k → ∞ k ! k + 1 !

Abrindo o fatorial do denominador uma vez:

L = l i m k → ∞ k ! k + 1 k !

Simplificamos o k ! , ficando só com:

L = l i m k → ∞ 1 k + 1

Tirando do módulo, pois k é positivo e portanto a expressão também:

L = l i m k → ∞ 1 k + 1

Passo 3

Por fim, aplicamos o limite, como só há um k no denominador, a razão tende para zero porque k → ∞ , e L será:

L = 0

Que é menor que 1, e então a série será absolutamente convergente.

Resposta

C o n v e r g e n t e

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