Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.6 - Ex. 13
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
Passo 1
E aí, povo! Beleza pura?
Precisamos achar o comportamento da série:
Para isso, precisamos escolher algum dos métodos que vimos até agora. Vamos aplicar aqui o Teste da Razão: Lembra dele? Calculamos o limite:
Se: a série é absolutamente convergente (e, portanto, convergente). Se a série é divergente (o mesmo para ) e se o teste é inconclusivo.
Bora pro caminho completo!
Passo 2
Vamos usar o teste da razão. Colocando:
Para precisamos substituir por
Escrevendo a divisão, já resolvendo a divisão de frações multiplicando a de cima, pelo inverso da fração de baixo:
Podemos fazer algumas simplificações nos termos exponenciais: e vamos cancelar termos iguais que estão dividindo:
Depois dessas simplificações, teremos:
Passo 3
Bora calcular o limite!
Dividindo o numerador e o denominador por e tirando a constante para fora do limite, vamos ter:
Temos que, tomando o limite , a segunda fração tende a .
Concluindo:
Portanto, pelo teste da razão, a série é absolutamente convergente.
Resposta
A série é absolutamente convergente.