O custo e a receita total com a produção e comercialização de um produto são dados por:

C q = 600 + 2,2 q

R q = 10 q - 0,006 q 2

Sendo 0 ≤ q ≤ 900

  1. Encontrar a quantidade q que maximiza o lucro com a venda desse produto.
  2. Qual o nível de produção que minimiza o lucro?
  3. Qual o nível de produção que corresponde ao prejuízo máximo?

Passo 1

(a) Para encontrar o lucro com a venda do produto, iremos fazer receita menos o custo. Assim,

L q = R q - C q

Substituindo:

L q = 10 q - 0,006 q 2 - 600 - 2,2 q

Simplificando:

L q = - 0,006 q 2 + 7,8 q - 600

Como o coeficiente da equação do segundo grau é negativo, então a curva terá um ponto de máximo. Para achar quando ele ocorre basta derivarmos e igualar a zero.

Derivando,

- 0,012 q + 7,8 = 0

Portanto,

q = 7,8 0,012 → q = 650

Passo 2

(b) Esse segundo item pode parecer bem estranho, pois já vimos no anterior que a função do lucro terá apenas um ponto de máximo. Assim, a ideia será fazer o lucro ser zero. Logo,

- 0,006 q 2 + 7,8 q - 600 = 0

Resolvendo a equação:

q = - 7,8 ± 7,8 2 - 4 × - 0,006 × - 600 2 × - 0,006

Fazendo as contas, chegamos no seguinte:

q ≅ 82,1 ou q ≅ 1217,9

Como 0 ≤ q ≤ 900   :

q ≅ 82,1

Passo 3

(c) Por fim, temos que calcular o nível de que corresponde ao prejuízo máximo, isto é, receita igual a zero.

R q = 10 q - 0,006 q 2

Igualando a zero:

1 0 q - 0,006 q 2 = 0

Assim,

q 10 - 0,006 q = 0

Portanto,

q = 0 ou q ≅ 1.667

Como 0 ≤ q ≤ 900   :

q = 0

Resposta

(a)

q = 650

(b)

q = 82,1

(c)

q = 0

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