Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 5.12 - Ex. 8

O custo e a receita total com a produção e comercialização de um produto são dados por:

Sendo

Encontrar a quantidade que maximiza o lucro com a venda desse produto.

Qual o nível de produção que minimiza o lucro?

Qual o nível de produção que corresponde ao prejuízo máximo?

Passo 1

(a) Para encontrar o lucro com a venda do produto, iremos fazer receita menos o custo. Assim,

Substituindo:

Simplificando:

Como o coeficiente da equação do segundo grau é negativo, então a curva terá um ponto de máximo. Para achar quando ele ocorre basta derivarmos e igualar a zero.

Derivando,

Portanto,

Passo 2

(b) Esse segundo item pode parecer bem estranho, pois já vimos no anterior que a função do lucro terá apenas um ponto de máximo. Assim, a ideia será fazer o lucro ser zero. Logo,

Resolvendo a equação:

Fazendo as contas, chegamos no seguinte:

ou

Como :

Passo 3

(c) Por fim, temos que calcular o nível de que corresponde ao prejuízo máximo, isto é, receita igual a zero.

Igualando a zero:

Assim,

Portanto,

ou

Como :

Resposta

(a)

(b)

(c)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Faça um esboço do gráfico de uma função f que passa pelos pontos c , f c , d , f d , e , f e , se as condições dadas forem satisfeitas. Trace também um segmento da reta tangente em cada um desses pont

Dada f x = x 2 + r x - 1 , prove que, independente do valor de r , f tem um valor mínimo relativo, mas não tem valor máximo relativo.

Dada f x = x r - r x + k , onde r0 e r ≠ 1 , prove que a ) se 0r1 , f tem valor máximo relativo em 1 b ) se r1 , f tem valor mínimo relativo em 1 .

Se f x = a x 2 + b x + c , use o teste da derivada segunda para mostrar que f tem um valor máximo relativo, se a0 . Ache o número onde ele ocorre.

Suponha que 1 2 2 e - 1 2 3 sejam números críticos de uma função f e que f ' ' x = x 1 2 x 2 + 1 ⟦ ⟧Em cada um desses números determine se f tem um extremo relativo; se tiver, classifique-o.