Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 5.12 - Ex. 23

Uma fábrica produz x milhares de unidades mensais de um determinador artigo. Se o custo de produção é dado por C = 2 x 3 + 6 x 2 + 18 x + 60 e o valor obtido na venda é dado por R = 60 x - 12 x 2 , determinador o número ótimo de unidades mensais que maximizam o lucro L = R - C .

Passo 1

A ideia nessa questão será equacionar o lucro em função do número de unidades x e em seguida maximizar essa função. Como ele já nos disse, o lucro obtido será L = R - C . Assim,

L = 60 x - 12 x 2 - 2 x 3 + 6 x 2 + 18 x + 60

Simplificando:

L x = - 2 x 3 - 18 x 2 + 42 x - 60

Passo 2

Agora vamos fazer a mesma ideia de sempre, derivar e igualar a zero para encontrar os pontos críticos. Derivando,

L ' x = 3 × - 2 x 2 + 2 × - 18 x + 42

Fazendo as contas:

L ' x = - 6 x 2 - 36 x + 42

Igualando a zero:

- 6 x 2 - 36 x + 42 = 0

Dividindo por 6 em ambos os lados:

- x 2 - 6 x + 7 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau:

x = 6 ± - 6 2 - 4 × - 1 × 7 2 × - 1

Assim,

x = 6 ± 8 2 × - 1

Isso nos dá as seguintes soluções:

x = - 7 ou x = 1

Passo 3

Agora vamos verificar quais das soluções maximizam o lucro.

L x = - 2 x 3 - 18 x 2 + 42 x - 60

Para x = - 7 :

L - 7 = - 2 × - 7 3 - 18 × - 7 2 + 42 × - 7 - 60

Fazendo as contas:

L - 7 = - 550

Para x = 1 :

L 1 = - 2 × 1 3 - 18 × 1 2 + 42 × 1 - 60

Fazendo as contas

L 1 = - 38

Assim, vemos que a o lucro é maximizado quando x = 1 , isto é, 1.000 unidades

Resposta

1.000 unidades

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Dada f x = x 3 + 3 r x + 5 , prove que a ) se r0 , f não tem extremos relativos b ) se r0 , f tem ambos os valores, máximo e mínimo, relativos.
Prove que:Seja c um ponto crítico de uma função f , no qual f ' c = 0 e suponhamos que f ' exista para todos os valores de x em algum intervalo aberto contendo c . Se f ' ' c existe eSe f ' ' c0 , ent
Suponha que f seja uma função para o qual f ' ' x existe para todos os valores de x num intervalo aberto I e que para um número c em I , f ' ' c = 0 e f ' ' ' c existe e não é zero. Prove que o ponto
Ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se existir algum. f x = x + 2 x - 2 - 4,4
Ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se existir algum. f x = x 3 - 3 x + 5 - ∞ , 0