Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 58
A deflexão estática de uma viga que está engonçada em ambos os extremos, satisfaz a equação diferencial (9) e as condições
Use a transformada de Laplace para resolver (9) sujeita a (12) quando
Veja a figura 7.51
Passo 1
E aííí meu colega, como vai?
Aqui temos uma aplicação física de equações diferenciais, onde queremos encontrar a deflexão de uma viga a partir de
Em que
Além disso, temos que em todo o comprimento da viga
E bom, para resolver essa >equaçãozinha
Ah, só pra lembrar, aqui tem algumas transformadas que podemos utilizar:
E também pode ser útil a propriedade de translação:
Agora bora lá!
Passo 2
Vamos fazer a transformada da equação:
Sabemos que .
O e a gente deixa assim por enquanto, porque são constantes que não sabemos o valor, certo?
Isolando :
Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso, vamo que vamo
Passo 3
Temos
Vamos manipular algebricamente as frações para termos algo parecido com a transformada de , que é :
Então temos:
Belezinha, agora ainda falta só mais um pouco, juro juradinho!
Precisamos usar as informações de que para encontrarmos as constantes e , vamos lá!
Passo 4
Temos
Vamos encontrar e
Derivando uma vez:
Derivando de novo:
Agora vamos aplicar e
Passo 5
Temos :
E :
Através das duas equações, encontramos
Agora vamos substituir esse valor lá em ok?
Passo 6
Temos
E temos que é:
Substituindo e :
E fimmmmmm