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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 10.1 - Ex. 15

Seja f (x , y) = int_0^(x^2 + y^2) e^(- t^2) d t . Calcule

(del f)/(del x) (x , y) e (del f)/(del y) (x , y)

Passo 1

Pelo teorema fundamental do cálculo, sabemos que, se F é uma primitiva de f , sendo F (t) = e^(- t^2) , então podemos dizer que:

(del f)/(del x) (x , y) = F (x , y)

Sabemos também que:

f (x , y) = int_0^(x^2 + y^2) e^(- t^2) d t = f (x^2 + y^2) - f (0)

Assim:

(del f)/(del x) (x^2 + y^2) - (del f)/(del x) (0) = 2 x xx (del f)/(del x) - 0 xx (del f)/(del x) = 2 x e^(- (x^2 + y^2)^2)

Passo 2

O mesmo vale pra y:

Pelo teorema fundamental do cálculo, sabemos que, se F é uma primitiva de f , sendo F (t) = e^(- t^2) , então podemos dizer que:

(del f)/(del y) (x , y) = F (x , y)

Sabemos também que:

f (x , y) = int_0^(x^2 + y^2) e^(- t^2) d t = f (x^2 + y^2) - f (0)

Assim:

(del f)/(del y) (x^2 + y^2) - (del f)/(del y) (0) = 2 y xx (del f)/(del y) - 0 xx (del f)/(del y) = 2 y e^(- (x^2 + y^2)^2)

Resposta

(del f)/(del y) = 2 y e^(- (x^2 + y^2)^2)

(del f)/(del x) = 2 x e^(- (x^2 + y^2)^2)

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