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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.2 - Ex. 2b

Utilizando polinômio de Taylor de ordem 2, calcule um valor aproximado e avalie o erro.

f x = 4,1

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer é achar as derivadas até a ordem 2 da função f x = x

f ' x = 1 2 x

f ' ' x = - 1 4 √ x 3

Passo 2

Agora, temos que achar as derivadas no ponto x 0 = 4 , além de f ( x 0 )

f 4 = 4

f 4 = 2

f ' ( 4 ) = 1 2 4

f ' 4 = 1 4

f ' ' 4 = - 1 4 √ 4 3

f ' ' 4 = - 1 32

Passo 3

Com tudo isso, basta substituir no polinômio de Taylor de ordem 2

f x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2

f x = f 4 + f ' 4 x - 4 + f ' ' 4 2 x - 4 2

f x = 2 + 1 4 x - 4 - 1 64 x - 4 2

f x = 2 + x 4 - 1 - x 2 64 + x 8 - 1 4

O polinômio vai ficar:

P 2 x = 3 4 + 3 x 8 - x 2 64

Passo 4

Vamos agora achar o valor aproximado de f x = 4,1 . Para isso, basta encontrar o valor do polinômio no ponto x = 4,1

P 2 4,1 = 3 4 + 3.4,1 8 - 4,1 ² 64

P 2 4,1 = 2.02484375

Passo 5

Feito isso, devemos avaliar o erro E x

Para a ordem 2, o erro está associado a ordem seguinte, ou seja:

E x = f ' ' ' x 3 ! | x - x 0 | 3

Por isso, vamos derivar f ' ' x , encontrada anteriormente e substituir na fórmula dado que x = 4,1

f x - P x ≤ E ( x )

f ' ' ' x = 3 6.8 x 5

f 4,1 = 4,1

P x = P 2 4,1 = 2.02484375

4,1 - 2.02484375 ≤ 3 8 4 5 | 4,1 - 4 | 3

4,1 - 2.02484375 ≤ 0,00000390625

4,1 - 2.02484375 ≤ 10 - 5

Resposta

P 2 4,1 = 2.02484375

4,1 - 2.02484375 ≤ 10 - 5

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