Enunciado
Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 11.1 - Ex. 1-a
1 ) Utilizando o teorema de Stokes, transforme a integral
numa integral de linha e calcule.
sendo
a normal apontando para cima
Passo 1
Antes de Começarmos temos que lembrar como é o teorema de Stolkes
OU seja podemos igualar ao fluxo que atravessa uma superfície pelo trabalho da força exercida pela borda. Com isso conseguimos reduzir o problema de 2 variáveis, em apenas 1. E lembrando que ainda podemos usar parametrizações para isso. Assim ficamos com
E com isso conseguimos resolver todos os nossos problemas.
Passo 2
NO nosso caso
Nossa superfície é
Passo 3
Assim podemos escolher uma parametrização da nossa superfície assim
Logo parametrizando nossa função teremos
Vamos unir isso a nossa integração
Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução
: )
Resposta
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Sejam u → , v → : Ω ⊂ R 3 → R 3 dois campos vetoriais e φ : Ω → R um campo escalar. Em cada caso, faça hipóteses adequadas sobre φ ,u → ,v → e prove. (suponha u → = P i → + Q j → + R k →ev → = P 1 i →
1 ) Utilizando o teorema de Stokes, transforme a integral ∫ ∫ σ∇ × F → ⋅n →d S numa integral de linha e calcule. e )F → x , y , z = x j → ,σ é a superfície x , y , z ∈ R 30 ≤ z ≤ 1 ,x 2 + y 2 = 1 ,x ≥
1 ) Utilizando o teorema de Stokes, transforme a integral ∫ ∫ σ∇ × F → ⋅n →d S numa integral de linha e calcule. g )F → x , y , z = y i → ,σ é a superfície x 2 + y 2 + z 2 = 2 ,x 2 + y 2 ≤ 1ez ≥ 0 , s
1 ) Utilizando o teorema de Stokes, transforme a integral ∫ ∫ σ∇ × F → ⋅n →d S numa integral de linha e calcule. j )F → x , y , z = y i → + x j → + x z k → ,σ é a superfície z = x + y + 2ex 2 + y 2 4