1 ) Utilizando o teorema de Stokes, transforme a integral

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S numa integral de linha e calcule.

a) F(x, y, z) = y k, sigma(u, v) = (u, v, u^2 + v^2), com u^2 + v^2 <= 1, sendo

n vetor a normal apontando para cima

Passo 1

Antes de Começarmos temos que lembrar como é o teorema de Stolkes

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S =   ∫ γ   F → ⋅ d r →  

OU seja podemos igualar ao fluxo que atravessa uma superfície pelo trabalho da força exercida pela borda. Com isso conseguimos reduzir o problema de 2 variáveis, em apenas 1. E lembrando que ainda podemos usar parametrizações para isso. Assim ficamos com ∫ γ   F → ⋅ d r → =   ∫ t 1     t 2 F → γ → t ⋅ γ ' → t   d t  

E com isso conseguimos resolver todos os nossos problemas.

Passo 2

NO nosso caso

F → x , y , z = 0,0 , y

Nossa superfície é

σ u , v = u , v , u 2 + v 2 ,  

  u 2 + v 2 ≤ 1

Passo 3

Assim podemos escolher uma parametrização da nossa superfície assim

γ t = cos ⁡ t ,   s e n   t , 1

γ ' t = - s e n   t , cos ⁡ t   , 0

0 < t < 2 π

Logo parametrizando nossa função teremos

F → γ → t = 0,0 ,   s e n   t  

Vamos unir isso a nossa integração

∫ t 1     t 2 F → γ → t ⋅ γ ' → t   d t

∫ 0     2 π 0,0 , s e n   t ⋅ - s e n   t , cos ⁡ t   , 0   d t = 0

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S = 0

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