Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 11.1 - Ex. 1-e

1 ) Utilizando o teorema de Stokes, transforme a integral

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S numa integral de linha e calcule.

e )   F → x , y , z = x j → ,       σ é a superfície x , y , z ∈ R 3   0 ≤ z ≤ 1 ,   x 2 + y 2 = 1 ,   x ≥ 0   ,   y ≥ 0 }   sendo n → a normal com componente x positiva

Passo 1

Vamos calcular

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S

Entao o primeiro passo é calcular o rotacional

∇ × F → = x ^ y ^ z ^ d d x d d y d d z 0 x 0

Fazendo determinante descobrimos que

∇ × F → = 0,0 , 1

Passo 2

Agora é só questão de calcular a normal. Temos duas maneiras de calcular, você faça da maneira que se sentir mais confortável

n →   = d σ d u × d σ d v d σ d u × d σ d v

Ou

n → = ∇ σ | ∇ σ |    

Eu sempre acho mais fácil calcular pelo gradiente. No nosso caso a superfície é

0 ≤ z ≤ 1

  x 2 + y 2 = 1

x ≥ 0  

  y ≥ 0

OU seja temos um cilindro, recortado apenas para o primeiro quadrante

Neste formato. Vamos calcular a normal dessa superficie

n → = ∇ σ | ∇ σ |    

n → = ( 2 x , 2 y , 0 ) 4 x 2 + 4 y 2 → x , y , 0 x 2 + y 2

Passo 3

Vamos usar o que já calculamos e unir à integral

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S

∫ ∫ 0,0 , 1 x , y , 0 x 2 + y 2 d S

Novamente Por causa do produto vetorial, a função para integrar será nula

∫ ∫ 0,0 , 1 x , y , 0 x 2 + y 2 d S = 0

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

1 ) Utilizando o teorema de Stokes, transforme a integral ∫ ∫ σ∇ × F → ⋅n →d S numa integral de linha e calcule. d )F → x , y , z = y i → + x 2 j → + z k → ,σ é a superfície x 2 + y 2 = 1 ,0z1 ,ey ≥0
1 ) Utilizando o teorema de Stokes, transforme a integral ∫ ∫ σ∇ × F → ⋅n →d S numa integral de linha e calcule. f )F → x , y , z = y i → ,σ é a superfície z =x 2 + y 2c o mz ≤ 1 sendo n → a normal co
1 ) Utilizando o teorema de Stokes, transforme a integral ∫ ∫ σ∇ × F → ⋅n →d S numa integral de linha e calcule. i )F → x , y , z = - y 2 i → + x 2 j → + z 2 k → ,σ é a superfície x 2 + y 2 4 + z 2 =
1 ) Utilizando o teorema de Stokes, transforme a integral ∫ ∫ σ∇ × F → ⋅n →d S numa integral de linha e calcule. h )F → x , y , z = - y i → + x j → + x 2 k → ,σ é a superfície x 2 + y 2 + z 2 = 4 ,2 ≤
9. Calcule ∫ ∫ σ∇ × F → ⋅n →d S Onde, F x , y , z = - y , x ,e x 2 + y 2 + z 2,σ a superfície x 2+y 2+z 2=1 , z ≥ 0, e a normal apontando para fora da esfera. (Sugestão: Utilize o Exercício 8.)