1 ) Utilizando o teorema de Stokes, transforme a integral

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S numa integral de linha e calcule.

e )   F → x , y , z = x j → ,       σ é a superfície x , y , z ∈ R 3   0 ≤ z ≤ 1 ,   x 2 + y 2 = 1 ,   x ≥ 0   ,   y ≥ 0 }   sendo n → a normal com componente x positiva

Passo 1

Vamos calcular

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S

Entao o primeiro passo é calcular o rotacional

∇ × F → = x ^ y ^ z ^ d d x d d y d d z 0 x 0

Fazendo determinante descobrimos que

∇ × F → = 0,0 , 1

Passo 2

Agora é só questão de calcular a normal. Temos duas maneiras de calcular, você faça da maneira que se sentir mais confortável

n →   = d σ d u × d σ d v d σ d u × d σ d v

Ou

n → = ∇ σ | ∇ σ |    

Eu sempre acho mais fácil calcular pelo gradiente. No nosso caso a superfície é

0 ≤ z ≤ 1

  x 2 + y 2 = 1

x ≥ 0  

  y ≥ 0

OU seja temos um cilindro, recortado apenas para o primeiro quadrante

Neste formato. Vamos calcular a normal dessa superficie

n → = ∇ σ | ∇ σ |    

n → = ( 2 x , 2 y , 0 ) 4 x 2 + 4 y 2 → x , y , 0 x 2 + y 2

Passo 3

Vamos usar o que já calculamos e unir à integral

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S

∫ ∫ 0,0 , 1 x , y , 0 x 2 + y 2 d S

Novamente Por causa do produto vetorial, a função para integrar será nula

∫ ∫ 0,0 , 1 x , y , 0 x 2 + y 2 d S = 0

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S = 0

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