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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 11.1 - Ex. 1-j

1 ) Utilizando o teorema de Stokes, transforme a integral

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S numa integral de linha e calcule.

j )   F → x , y , z = y i → + x j → + x z k → ,       σ é a superfície   z = x + y + 2   e   x 2 + y 2 4 ≤ 1   ,     sendo n → a normal para baixo

Passo 1

Vamos calcular

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S

Então o primeiro passo é calcular o rotacional

∇ × F → = x ^ y ^ z ^ d d x d d y d d z y x x z

Fazendo determinante descobrimos que

∇ × F → = 0 , - z , 0

Passo 2

Agora é só questão de calcular a normal. Temos duas maneiras de calcular, você faça da maneira que se sentir mais confortável

n →   = d σ d u × d σ d v d σ d u × d σ d v

Ou

n → = ∇ σ | ∇ σ |    

Eu sempre acho mais fácil calcular pelo gradiente. No nosso caso a superfície é

z = x + y + 2  

  x 2 + y 2 4 ≤ 1

Ou seja : um plano recortado por uma elipse. Assim sua normal é

n → = ∇ σ | ∇ σ |

n → = - 1 , - 1,1 3

Passo 3

Vamos unir isso a nossa integração

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S

∫ ∫ σ   0 , - z , 0 ⋅   - 1 , - 1,1 3 d S

1 3 ∫ ∫ σ   z d S

Vamos usar a equação da superfície para desaparecer com o z

z = x + y + 2  

1 3 ∫ ∫ σ   x + y + 2   d S

E como estamos limitando o plano por uma região elíptica, podemos usar coordenadas polares para calcular

x 2 a ² + y 2 b ² = 1

J = a b r

x = a r cos ⁡ t

y = b r sin ⁡ t

No nosso caso

a = 1

b = 2

Assim a integral fica

∫ 0 1 ∫ 0 2 π ( r cos ⁡ t + 2 r s e n   t + 2   ) 2 r d t d r

Felizmente, as funções seno e cossenos elevados a um expoente impar tem a mesma quantidade de área acima e abaixo do eixo y. Logo no intervalo de um ciclo – como por exemplo 0,2 π elas se anulam. Logo ficamos com

2 π ∫ 0 1 4 r d r

2 π ⋅ 2

= 4 π

Temos agora só que prestar atenção à nossa normal. O enunciado diz “sendo n → a normal para baixo” Logo teremos esse mesmo valor com sinal invertido. Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S =   - 4 π

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