Sejam dois campos vetoriais e um campo escalar. Em cada caso, faça hipóteses adequadas sobre e prove. (suponha ):
f)
Passo 1
Estamos supondo e vamos partir da hipótese de que as componentes admitam derivadas parciais. Vamos supor ainda que as componentes sejam de classe .
Vamos por partes...
Beleza, esse é o rotacional de
Passo 2
Bom, o rotacional desse rotacional vai ser uma coisa linda assim:
Isso vai dar:
Passo 3
Pra ficar mais de boa de entender, vamos ver a primeira componente:
A gente pode fazer o seguinte:
Pra que? Pra fazer isso:
Agora veja que:
Então até aqui deu: .
Lembra que a gente só usou uma coordenada aqui né? Bom, se a gente fizer a mesma coisa pras outras duas coordenadas, a gente comprova que:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)