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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 1.4 - Ex. 9f

Sejam u → , v → : Ω ⊂ R 3 → R 3     dois campos vetoriais e φ : Ω → R um campo escalar. Em cada caso, faça hipóteses adequadas sobre φ ,   u → ,   v → e prove. (suponha u → = P i → + Q j → + R k →   e   v → = P 1 i → + Q 1 j → + R 1 k → ):

f) r o t   r o t   u → = ∇ d i v   u → - ∇ 2 u → ,   o n d e   ∇ 2 u → = ∇ 2 P ,   ∇ 2 Q ,   ∇ 2 R

Passo 1

Estamos supondo u → = P i → + Q j → + R k →   e   v → = P 1 i → + Q 1 j → + R 1 k → e vamos partir da hipótese de que as componentes admitam derivadas parciais. Vamos supor ainda que as componentes sejam de classe C 2 .

Vamos por partes...

r o t   u → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P Q R

= i → ∂ ∂ y ∂ ∂ z Q R - j → ∂ ∂ x ∂ ∂ z P R + k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y P Q

=   i → ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z + j → ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x + k → ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y

Beleza, esse é o rotacional de u → .

Passo 2

Bom, o rotacional desse rotacional vai ser uma coisa linda assim:

r o t r o t   u → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y

Isso vai dar:

= ∂ 2 R ∂ x ∂ z + ∂ 2 Q ∂ x ∂ y - ∂ 2 P ∂ y 2 - ∂ 2 P ∂ z 2 i → + ∂ 2 R ∂ z ∂ y + ∂ 2 Q ∂ x 2 - ∂ 2 Q ∂ z 2 - ∂ 2 P ∂ x ∂ y j → + ∂ 2 Q ∂ y ∂ z + ∂ 2 P ∂ x ∂ z - ∂ 2 R ∂ y 2 - ∂ 2 P ∂ x ∂ y k →

Passo 3

Pra ficar mais de boa de entender, vamos ver a primeira componente:

∂ 2 R ∂ x ∂ z + ∂ 2 Q ∂ x ∂ y - ∂ 2 P ∂ y 2 - ∂ 2 P ∂ z 2

A gente pode fazer o seguinte:

∂ 2 R ∂ x ∂ z + ∂ 2 Q ∂ x ∂ y - ∂ 2 P ∂ y 2 - ∂ 2 P ∂ z 2 + ∂ 2 P ∂ x 2 -   ∂ 2 P ∂ x 2

Pra que? Pra fazer isso:

∂ ∂ x ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z - ∂ 2 P ∂ y 2 + ∂ 2 P ∂ z 2 + ∂ 2 P ∂ x 2

Agora veja que:

∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z = d i v   u →

∂ 2 P ∂ y 2 + ∂ 2 P ∂ z 2 + ∂ 2 P ∂ x 2 = ∇ 2 P

Então até aqui deu: ∂ ∂ x d i v   u → - ∇ 2 P   .

Lembra que a gente só usou uma coordenada aqui né? Bom, se a gente fizer a mesma coisa pras outras duas coordenadas, a gente comprova que:

r o t   r o t   u → = ∇ d i v   u → - ∇ 2 u →

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Sejam u → , v → : Ω ⊂ R 3 → R 3 dois campos vetoriais e φ : Ω → R um campo escalar. Em cada caso, faça hipóteses adequadas sobre φ ,u → ,v → e prove. (suponha u → = P i → + Q j → + R k →ev → = P 1 i →
1 ) Utilizando o teorema de Stokes, transforme a integral ∫ ∫ σ∇ × F → ⋅n →d S numa integral de linha e calcule. a )F → x , y , z = y k → ,σ u , v = u , v , u 2 + v 2 , c o mu 2 + v 2 ≤ 1 , sendo n →