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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 10.2 - Ex. 8

Seja σ o gráfico de f ( x , y ) = x 2 + y 2 ,   x 2 + y 2 ≤ 1 e seja n → a normal a σ com componente z ≤ 0 . Seja F → x , y , z = x 2 y i → - x y 2 j → + k → , calcule ∬ σ F → ⋅ n →   d S ,

Passo 1

Vamos resolver essa da forma tradicional de integral de campo vetorial.

Sendo que o vetor n → é calculado da seguinte forma:

n → =   ∂ σ ∂ u × ∂ σ ∂ v ∂ σ ∂ u × ∂ σ ∂ v

Vamos começar parametrizando a região então:

σ u , v = u ,   v ,   u 2 + v 2

As derivadas parciais então são:

∂ σ ∂ u = 1,0 , 2 u

∂ σ ∂ v = 0,1 , 2 v

∂ σ ∂ u × ∂ σ ∂ v =   i → j → k → 1 0 2 u 0 1 2 v

= i → 0 2 u 1 2 v - j → 1 2 u 0 2 v + k → 1 0 0 1

=   i → - 2 u - j → 2 v + k → ( 1 )

=   - 2 u   i → - 2 v j → + k →

Passo 2

E a norma...

d S = ∂ σ ∂ u × ∂ σ ∂ v = - 2 u 2 + - 2 v 2 + 1 2 = 4 u 2 + 4 v 2 + 1  

Ou seja, o vetor normal é:

n → = - 2 u   i → - 2 v j → + k → 4 u 2 + 4 v 2 + 1  

Remontando a integral agora, a gente fica com:

∬ σ u 2 v i → - u v 2 j → + 1 k → - 2 u   i → - 2 v j → + k → 4 u 2 + 4 v 2 + 1 4 u 2 + 4 v 2 + 1   d u d v

∬ σ u 2 v i → - u v 2 j → + 1 k → - 2 u   i → - 2 v j → + k → d u d v

Fazemos o produto vetorial agora:

∬ σ - 2 u 3 v + 2 u v 3 + 1   d u d v

= ∬ σ 2 u v v 2 - u 2 + 1   d u d v

Passo 3

Vamos passar a região para coordenadas polares agora:

x = u = ρ cos ⁡ θ

y =   v = ρ s e n   θ

0 ≤ ρ ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2 π

Remontando a integral...

∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 ( ρ cos ⁡ θ ρ s e n   θ ρ 2 s e n 2 θ - ρ 2 cos 2 ⁡ θ ) + 1 ρ d ρ d θ  

= ∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 ρ 2 cos ⁡ θ s e n   θ ρ 2 s e n 2 θ - ρ 2 cos 2 ⁡ θ + 1 )   ρ d ρ d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 ρ 5 c o s θ s e n 3 θ - 2 ρ 5 cos 3 ⁡ θ s e n   θ + ρ d ρ d θ

= ∫ 0 2 π 2 ρ 6 6 c o s θ s e n 3 θ - 2 ρ 6 6 cos 3 ⁡ θ s e n   θ + ρ 2 2 0 1 d ρ d θ

= ∫ 0 2 π 1 3 c o s θ s e n 3 θ - 1 3 cos 3 ⁡ θ s e n   θ + 1 2 d θ

= s e n 4 θ 12 + cos 4 ⁡ θ 12 + 1 2 θ 0 2 π

= 0 + 1 12 + π - 0 - 1 12 - 0

= π

Beleza, só um detalhe aqui: a componente z do vetor é menor que zero (pelo enunciado). Ou seja, o vetor que a gente deveria considerar era 2 u   i → + 2 v j → - k → . Mas caaaalma!! Só vai mudar o sinal mesmo, nossa integral então é:

=   - π

Prontinho!

Resposta

- π

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