Seja o gráfico de e seja a normal a com componente . Seja , calcule ,
Passo 1
Vamos resolver essa da forma tradicional de integral de campo vetorial.
Sendo que o vetor é calculado da seguinte forma:
Vamos começar parametrizando a região então:
As derivadas parciais então são:
Passo 2
E a norma...
Ou seja, o vetor normal é:
Remontando a integral agora, a gente fica com:
Fazemos o produto vetorial agora:
Passo 3
Vamos passar a região para coordenadas polares agora:
Remontando a integral...
Beleza, só um detalhe aqui: a componente do vetor é menor que zero (pelo enunciado). Ou seja, o vetor que a gente deveria considerar era . Mas caaaalma!! Só vai mudar o sinal mesmo, nossa integral então é:
Prontinho!