Seja sigma o gráfico de f(x, y) = x^2 + y^2 , x^2 + y^2 <= 1 e seja n vetor a normal a sigma com componente z <= 0 . Seja F(x, y, z) = x^2y \hat{i} - xy^2 \hat{j} + \hat{k} , calcule ∬ σ F → ⋅ n →   d S ,

Passo 1

Fala galerinha, tudo bem? Vamos resolver mais uma questão!

O enunciado pede pra gente calcular a integral:

∬ σ F → ⋅ n →   d S

Se a gente reparar bem, essa integral é justamente a integral de Fluxo! Isso por que o vetor   F → é o campo vetorial dado, e tem um fluxo através da superfície σ !

Precisamos lembrar que o nosso vetor normal é dado por:

n → =   ∂ σ ∂ u × ∂ σ ∂ v ∂ σ ∂ u × ∂ σ ∂ v

E o elemento d S é dado por:

d S = ∂ σ ∂ u × ∂ σ ∂ v   d u   d v

Com as devidas parametrizações. Dessa forma, o fluxo se reduz a:

∬ σ F → ⋅ n →   d S = ∬ σ F → ( u , v ) ⋅ ∂ σ ∂ u × ∂ σ ∂ v d u   d v

Vamos nessa!

Passo 2

Vamos começar parametrizando a região. Podemos fazer uma parametrização do tipo:

x = u

y = v

f x , y = z = u 2 + v 2

Ou seja:

σ u , v = u ,   v ,   u 2 + v 2

Com isso, as derivadas parciais serão:

∂ σ ∂ u = 1,0 , 2 u

∂ σ ∂ v = 0,1 , 2 v

Agora, se a gente fizer o produto vetoria entre elas, teremos:

∂ σ ∂ u × ∂ σ ∂ v =   i → j → k → 1 0 2 u 0 1 2 v

Realizando o produto vetorial, teremos:

∂ σ ∂ u × ∂ σ ∂ v =   - 2 u   i ^ - 2 v   j ^ + k ^

Passo 3

Agora, vamos analisar nosso campo vetorial, ele é da forma:

F → x , y , z = x 2 y   i ^ - x y 2   j ^ + k ^

Pela nossa parametrização, ele fica:

F → = u 2 v i → - u v 2 j → + k →

Remontando a integral com os valores que encontramos, ficamos com:

∬ σ F → ( u , v ) ⋅ ∂ σ ∂ u × ∂ σ ∂ v d u   d v = ∬ σ u 2 v i → - u v 2 j → + 1 k → ⋅ - 2 u   i ^ - 2 v   j ^ + k ^   d u   d v

Fazendo o produto escalar, temos:

∬ σ - 2 u 3 v + 2 u v 3 + 1   d u d v

Simplificando, temos:

∬ σ 2 u v v 2 - u 2 + 1   d u d v

Passo 4

Agora, podemos adotar uma estratégia para facilitar nossa vidas (talvez). Vamos passar a região para coordenadas polares. Com isso, teremos o seguinte:

x = u = ρ cos ⁡ θ

y =   v = ρ s e n   θ

Pelo problema, temos que:

x 2 + y 2 = ρ = 1

Dessa forma, nossos limites de integração serão:

0 ≤ ρ ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2 π

Vamos remontar nossa integral. Teremos o seguinte:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 ( ρ cos ⁡ θ ρ s e n   θ ρ 2 s e n 2 θ - ρ 2 cos 2 ⁡ θ ) + 1 ρ d ρ d θ  

Parece gigantesca, vamos simplificar um pouco:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 ρ 2 cos ⁡ θ s e n   θ ρ 2 s e n 2 θ - ρ 2 cos 2 ⁡ θ + 1 )   ρ d ρ d θ

Realizando a distributiva, temos finalmente que:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ( 2 ρ 5 c o s θ s e n 3 θ - 2 ρ 5 cos 3 ⁡ θ s e n   θ + ρ )   d ρ d θ

Realizando a integral, de dentro para fora, temos:

∫ 0 2 π 2 ρ 6 6 c o s θ s e n 3 θ - 2 ρ 6 6 cos 3 ⁡ θ s e n   θ + ρ 2 2 0 1 d θ

Aplicando os limites de integração, teremos:

∫ 0 2 π 1 3 c o s θ s e n 3 θ - 1 3 cos 3 ⁡ θ s e n   θ + 1 2   d θ

Essas integrais são um pouco conhecidas. Aplicando seus valores, teremos:

= s e n 4 θ 12 + cos 4 ⁡ θ 12 + 1 2 θ 0 2 π

Avaliando nos limites de integração, temos:

0 + 1 12 + π - 0 - 1 12 - 0 = π

Beleza, só um detalhe aqui: a componente z do vetor é menor que zero (pelo enunciado). Ou seja, o vetor que a gente deveria considerar era 2 u   i → + 2 v j → - k → . Mas caaaalma!! Só vai mudar o sinal mesmo, nossa integral então é:

=   - π

Prontinho!

Resposta

∬ σ F → ⋅ n →   d S = - π

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados