Seja o gráfico de , e seja a normal a com componente . Seja , calcule ,
Passo 1
Fala galerinha, tudo bem? Vamos resolver mais uma questão!
O enunciado pede pra gente calcular a integral:
Se a gente reparar bem, essa integral é justamente a integral de Fluxo! Isso por que o vetor é o campo vetorial dado, e tem um fluxo através da superfície !
Precisamos lembrar que o nosso vetor normal é dado por:
E o elemento é dado por:
Com as devidas parametrizações. Dessa forma, o fluxo se reduz a:
Vamos nessa!
Passo 2
Vamos começar parametrizando a região. Podemos fazer uma parametrização do tipo:
Ou seja:
Com isso, as derivadas parciais serão:
Agora, se a gente fizer o produto vetoria entre elas, teremos:
Realizando o produto vetorial, teremos:
Passo 3
Agora, vamos analisar nosso campo vetorial, ele é da forma:
Pela nossa parametrização, ele fica:
Remontando a integral com os valores que encontramos, ficamos com:
Fazendo o produto escalar, temos:
Simplificando, temos:
Passo 4
Agora, podemos adotar uma estratégia para facilitar nossa vidas (talvez). Vamos passar a região para coordenadas polares. Com isso, teremos o seguinte:
Pelo problema, temos que:
Dessa forma, nossos limites de integração serão:
Vamos remontar nossa integral. Teremos o seguinte:
Parece gigantesca, vamos simplificar um pouco:
Realizando a distributiva, temos finalmente que:
Realizando a integral, de dentro para fora, temos:
Aplicando os limites de integração, teremos:
Essas integrais são um pouco conhecidas. Aplicando seus valores, teremos:
Avaliando nos limites de integração, temos:
Beleza, só um detalhe aqui: a componente do vetor é menor que zero (pelo enunciado). Ou seja, o vetor que a gente deveria considerar era . Mas caaaalma!! Só vai mudar o sinal mesmo, nossa integral então é:
Prontinho!