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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 11.1 - Ex. 1-c

1 ) Utilizando o teorema de Stokes, transforme a integral

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S numa integral de linha e calcule.

c )   F → x , y , z = y i → + x 2 j → + z k → ,       σ u , v = u , v ,   2 u + v + 1 ,   c o m   u ≥ 0   e   u + v ≤ 2

sendo n → a normal apontando para baixo

Passo 1

Vamos calcular

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S

Entao o primeiro passo é calcular o rotacional

∇ × F → = x ^ y ^ z ^ d d x d d y d d z y x ² z

Fazendo determinante descobrimos que

∇ × F → = 0,0 , 2 x - 1

Passo 2

Agora é só questão de calcular a normal. Temos duas maneiras de calcular, você faça da maneira que se sentir mais confortável

n →   = d σ d u × d σ d v d σ d u × d σ d v

Ou

n → = ∇ σ | ∇ σ |    

Eu sempre acho mais fácil calcular pelo gradiente. No nosso caso a superfície é

σ u , v = u , v ,   2 u + v + 1

Podemos escrever em cartesianas como

z = 2 x + y + 1

OU da maneira habitual para calcular gradiente

σ   : z - 2 x - y - 1 = 0

Agora sim podemos calcular sem errar o sinal

∇ σ = - 2 , - 1,1

Logo a normal fica

n → = ∇ σ ∇ σ

n → = - 2 , - 1,1 2 2 + 1 + 1 → - 2 , - 1,1 6

Passo 3

Vamos calcular essa integração

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S

∫ ∫ 0,0 , 2 x - 1 - 2 , - 1,1 6 d S

A região para integrar é

u ≥ 0   e   u + v ≤ 2

Ou seja os limites de integração são

0 < y < 2 - x

0 < x < 2

Vamos terminar esse exercício

∫ 0 2 ∫ 0 2 - x 0,0 , 2 x - 1 - 2 , - 1,1 6 d y d x

1 6 ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x 2 x - 1 d y d x

1 6 ∫ 0 2 2 x - 1 2 - x d x

= 1 6 - 2 3 x 3 + 5 2 x 2 - 2 x 0 2  

= 2 3 6

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S =   2 3 6  

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