1 ) Utilizando o teorema de Stokes, transforme a integral

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S numa integral de linha e calcule.

c) F(x, y, z) = y i + x^2 j + z k, sigma(u, v) = (u, v, 2u + v + 1), com u >= 0 e u + v <= 2

sendo n vetor a normal apontando para baixo

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra usar o Teorema de Stokes (que troca uma integral de superfície de  ∇ × F →  por uma integral de linha de  F →  na borda) para calcular:

∫ ∫ σ ∇ × F → ⋅ n → d S

Para resolvermos essa atividade iremos seguir o passo a passo:

  1. Identificar a curva de contorno ∂ σ e a sua orientação correta, que é a horária vista de cima;
  2. Parametrizar essa curva e montar a integral de linha ∫ σ F → ⋅ d r →

Passo 2

O teorema de Stokes garante que:

∫ ∫ σ ∇ × F → ⋅ n → d S = ∫ σ F → ⋅ d r →

Como n → deve apontar para baixo, a orientação de ∂ σ é horaria (quando vista lá de cima).

A borda ∂ σ é o triangulo cujos verticies são as imagens de u , v = 0,0 ,   2,0 ,   0,2 , ou seja,

A = 0,0 , 1

B = 2,0 , 5

C = 0,2 , 3

Em vista de cima a direção horária passa por:

C → B → A → C

No sentido de fechar o caminho.

Passo 3

Parametrizamos cada lado em ordem horaria e calculamos F → ⋅ d r → :

De C até B :

t ∈ 0,1

r 1 → t = 2 t ,   2 - 2 t ,   2 2 t + 2 - 2 t + 1 ) = 2 t , 2 - 2 t , 2 t + 3

r 1 ' → t = 2 , - 2,2

F → r 1 → t = 2 - 2 t , 4 t 2 , 2 t + 3

Então:

F → ⋅ r 1 ' → = 2 - 2 t ⋅ 2 + 4 t 2 - 2 + 2 t + 3 ⋅ 2 = 10 - 8 t 2

Então:

∫ 0 1 10 - 8 t 2 d t = 10 - 8 3 = 22 3

Passo 4

De B até A :

s ∈ 0,1

r 2 → s = 2 - 2 s , 0,2 2 - 2 s + 1

r 2 → s = 2 - 2 s , 0,5 - 4 s

r 2 ' → s = - 2,0 , - 4

F → r 2 → = 0 , 2 - 2 s 2 , 5 - 4 s

Logo:

F → ⋅ r 2 ' → = - 4 5 - 4 s = - 20 + 16 s

∫ 0 1 - 20 + 16 s d s = - 12

Passo 5

De A até C :

r ∈ 0,2

r 3 → r = 0 , r , r + 1

r 3 ' → r = 0,1 , 1

F → r 3 → = r , 0 , r + 1

Então:

F → ⋅ r 3 ' → = r + 1

∫ 0 2 r + 1 d r = 4

Somando as três partes:

22 3 + - 12 + 4 = 22 3 - 8 = - 2 3

Resposta

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S =   - 2 3

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