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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.6 - Ex. 16

14.16. Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção e sentido do vetor v

f x , y , z = x y + z ,     4,1 , 1     v = < 1,2 , 3 >

Passo 1

Oie, tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa atividade hoje.

Aqui a gente precisa encontrar a derivada direcional da função:

f x , y , z = x y + z

Na direção do vetor:

v = 1,2 , 3

E no ponto:

4,1 , 1

O modo mais simples de resolver esse exercício é usar a equação 14

D u f x , y , z = ∇ f x , y , z ⋅ u

Em que ∇ f é o vetor gradiente:

∇ f = f x , f y , f z

E:

u

É o vetor unitário do vetor direcional, em casos que o vetor dado não é unitário, iremos dividir as coordenadas do vetor pelo seu modulo.

Passo 2

Então vamos começar calculando:

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z z

f x , y , z = x y + z

Veja que precisaremos utilizar a regra do quociente para calcular as derivadas parciais f y e f z :

f g ' = f ' g - f g ' g 2

Teremos então nossa derivada:

∇ f x , y , z = 1 y + z i + - x y + z 2 j + - x y + z 2 k

E precisamos também do u que é um vetor unitário na direção de v . Bem esse vetor pode ser construído da seguinte forma

u = v v

Então estaremos dividindo o vetor v que é a nossa direção pelo o seu modulo, para que possamos encontrar o vetor unitário u :

u = 1 i + 2 j + 3 k 1 2 + 2 2 + 3 2

u = 1 14 1 i + 2 j + 3 k

Passo 3

Agora é só colocar na equação

D u f 4,1 , 1 = ∇ f 4,1 , 1 ⋅ u

Colocando o nosso ponto dado:

D u f 4,1 , 1 = 1 1 + 1 i + - 4 1 + 1 2 j + - 4 1 + 1 2 k ⋅ 1 14 1 i + 2 j + 3 k

D u f 4,1 , 1 = 1 2 i - 1 j - 1 k ⋅ 1 14 1 i + 2 j + 3 k

Fazendo esse produto escalar:

D u f 4,1 , 1 = 1 2 ⋅ 1 14 - 2 ⋅ 1 - 1 ⋅ 3

Temos então que nossa derivada é:

D u f 4,1 , 1 = - 9 2 14

E terminamos.

Resposta

D u f 4,1 , 1 = - 9 2 14

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