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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.7 - Ex. 17

Utilize coordenadas cilíndricas.

Calcule ∭ E x 2 + y 2 d V , onde E é a região que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 16 e entre os planos z = - 5 e z = 4 .

Passo 1

Show de bola, galera....Pra resolver essa questão não tem mistério.

Basta nos lembrarmos do conceito de coordenadas cilíndricas...As relações entre coordenadas cilíndricas r , θ , z e coordenadas retangulares x , y , z são dadas da seguinte forma:

x = r cos ⁡ θ y = r sen ⁡ θ z = z

Onde z é altura do cilindro.

Beleza...Agora vamos analisar o enunciado e traduzir as informações que ele nos fornece em termos de coordenadas cilíndricas. Vamos lá?

Passo 2

Sabendo que x = r cos ⁡ θ e que y = r sen ⁡ θ , traduzimos a informação de que a região está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 16 como sendo:

x 2 ⏟ r cos ⁡ θ 2 + y 2 ⏟ r sen ⁡ θ 2 ≤ 16

r 2 cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ ⏟ = 1 ≤ 4 2

0 ≤ r ≤ 4

Além disso, como não temos restrição para o ângulo θ , temos que:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Além do mais, a nossa função x 2 + y 2 que vamos integrar fica da seguinte forma:

x 2 + y 2 = r cos ⁡ θ 2 + r sen ⁡ θ 2 = r

Assim, ficamos com a seguinte integral (não esquecendo de multiplicar pelo jacobiano que é r ):

∭ E x 2 + y 2 d V = ∫ - 5 4 ∫ 0 2 π ∫ 0 4 r r d r d θ d z ⏟ d V

Passo 3

Calculando a integral:

∫ - 5 4 ∫ 0 2 π ∫ 0 4 r 2 d r d θ d z = ∫ - 5 4 ∫ 0 2 π r 3 3 | 4 0 d θ d z = ∫ - 5 4 ∫ 0 2 π 64 3 d θ d z =

= ∫ - 5 4 64 3 θ | 2 π 0 d z = ∫ - 5 4 64 3 2 π d z = ∫ - 5 4 128 π 3 d z =

= 128 π 3 z | 4 - 5 = 128 π 3 4 + 5 = 384 π

Resposta

∭ E x 2 + y 2 d V = 384 π

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