Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.7 - Ex. 20
Utilize coordenadas cilíndricas.
Calcule , onde é o sólido que está entre os cilindros e , acima do plano-, e abaixo do plano .
Passo 1
E aí, galera! Como estão?
O exercício pede para calcularmos a integral tripla:
Onde é o sólido que está entre os cilindros:
E:
acima do plano-, e abaixo do plano
Bom, o que falta para calcularmos essa integral tripla são os limites de integração para cada variável, , e .
Então nosso objetivo nessa questão é olharmos o sólido tridimensional e sua projeção no plano para entendermos qual o limite de integração de cada variável. A gente consegue isso com a descrição da região que a questão trouxe.
Como o próprio enunciado diz, temos que usar as coordenadas cilíndricas na descrição da nossa região . As relações entre coordenadas cilíndricas e coordenadas retangulares são dadas da seguinte forma:
E:
Com os limites de integração em mãos, é só arranjarmos a integral na ordem que acharmos mais prático e calcular nossa integral iterada, começando da integral de dentro até a integral mais externa.
Vamos lá? 
Passo 2
Vamos começar achando nossos limites de integração usando a descrição dada no enunciado.
Sabendo que
e que
traduzimos a informação de que a região está entre os cilindros
e
como sendo:
Substituindo:
E:
Teremos:
Colocando em evidência:
Como:
Teremos:
Aplicando a raiz quadrada na inequação:
Passo 3
Continuando a procurar os limites para as demais variáveis...
A informação de que a região está entre acima do plano , significa que só assume valores positivos para , ou seja, .
Como o sólido está abaixo do plano
Podemos dizer que tem a seguinte variação:
Como estamos trabalhando com coordenadas cilíndricas, vamos reescrever esse intervalo usando:
Ou seja
Além disso, como não temos restrição para o ângulo , temos que:
Assim, ficamos com a seguinte integral:
Colocamos por dentro por ser uma integral com função nos limites de integração. Colocar para dentro facilita nossos cálculos.
Passo 4
Agora é só resolvermos nossa integral.
Começando pela integral de , tratando e como constantes:
Aplicando os limites de integração:
Simplificando a expressão do integrando:
Como temos uma integral da soma, podemos separar isso em somas de integrais:
Agora podemos resolver cada uma das 4 integrais acima separadamente.
Passo 5
Começamos com a primeira integral da soma:
Como integra para zero em um período completo de a , temos:
Então:
Resolvendo a segunda integral da soma:
Temos que é uma função que integra para zero em um período completo de a , então:
Portanto nossa integral será:
Passo 6
Vamos para nossa terceira integral da soma:
Resolvendo a integral de dentro em relação a , tratando o outro termo como constante:
Substituindo os limites de integração:
Agora integrando em :
Aplicando os limites de integração:
Agora, calculando a última integral:
Como é uma função periódica, em um período completo de ela integra para zero, então já sabemos que nossa integral será:
Passo 7
Agora é só juntarmos os valores que achamos para cada integral:
Então, nossa integral será: