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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.8 - Ex. 19

Utilize coordenadas cilíndricas

Calcule ∬ E x + y + z d V , onde E é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboloide z = 4 - x 2 - y 2 .

Passo 1

Temos uma integral tripla do tipo I. Isto é:

∬ D ∫ 0 4 - x 2 - y 2 z d z d A

Observem que o plano z = 0 limita a parte inferior do nosso sólido. A região D é obtida a partir da projeção do nosso sólido. Neste caso, basta fazer a interseção do plano com o paraboloide. Logo,

0 = 4 - x 2 - y 2

x 2 + y 2 = 4

Logo, temos um círculo de raio 2. Para passarmos para coordenadas cilíndricas, basta fazer:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

E os limites de integração serão: 0 ≤ r ≤ 2 e 0 ≤ θ ≤ π / 2 . Portanto,

∫ 0 π / 2 ∫ 0 2 ∫ 0 4 - r 2 ( z + r cos ⁡ θ + r sen ⁡ θ ) r d z d r d θ

Observem que 0 ≤ θ ≤ π / 2 pois estamos trabalhando no primeiro octante!

Passo 2

Agora, vamos resolver a integral do nosso problema. Para isto, basta integrar cada uma das variáveis e aplicar o teorema fundamental do cálculo. Logo,

∫ 0 π / 2 ∫ 0 2 ∫ 0 4 - r 2 ( z + r cos ⁡ θ + r sen ⁡ θ ) r d z d r d θ

∫ 0 π / 2 ∫ 0 2 r z 2 2 + z r 2 cos ⁡ θ + z r 2 sen ⁡ θ 0 4 - r 2 d r d θ

∫ 0 π / 2 ∫ 0 2 r ( 16 - 8 r 2 + r 4 ) 2 + 4 r 2 - r 4 cos ⁡ θ + sen ⁡ θ d r d θ

∫ 0 π / 2 4 r 2 - r 4 + r 6 12 0 2 + cos ⁡ θ + sen ⁡ θ ⋅ 4 r 3 3 - r 5 5 0 2 d θ

∫ 0 π / 2 16 - 16 + 64 12 + cos ⁡ θ + sen ⁡ θ ⋅ 32 3 - 32 5 d θ

∫ 0 π / 2 16 3 + 64 15 cos ⁡ θ + sen ⁡ θ d θ

16 3 θ + 64 15 sen ⁡ θ - 64 15 cos ⁡ θ 0 π / 2 = 8 π 3 + 128 15

Resposta

∫ 0 π / 2 ∫ 0 2 ∫ 0 4 - r 2 ( z + r cos ⁡ θ + r sen ⁡ θ ) r d z d r d θ = 8 π 3 + 128 15

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Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 2 , 3 π / 4,2 ) ( 1,1 , 1 )
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule-a. ∫ - π 2 π 2 ∫ 0 2 ∫ 0 r 2 r d z d r d θ
Determine o volume do sólido que está entre o paraboloide z = x 2 + y 2 e a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 2 .
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