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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.8 - Ex. 96

Utilize a derivação logarítmica para determinar a derivada de y em relação à variável independente dada: y = ln ⁡ x ln ⁡ x

Passo 1

O enunciado pede para utilizar a derivação logarítmica para determinar a derivada de y em relação a x. Assim, vamos utilizar a seguinte propriedade dos expoentes:

a b =   e b l n   a

Sabendo disso, vamos reescrever o termo ln ⁡ x ln ⁡ x . Beleza?

ln ⁡ x ln ⁡ x =   e ln ⁡ x ln ⁡ ( ln ⁡ ( x ) )

Passo 2

Agora, vamos derivar em ambos os lados da equação e em seguida utilizar a regra da cadeia:

d y d x = d d x e ln ⁡ x ln ⁡ ( ln ⁡ ( x ) )

Aplicando a regra da cadeia:

d f ( u ) d x =   d f d u . d u d x

Considere f = e u e u = ln ⁡ x ln ⁡ ( ln ⁡ ( x ) )

d f d u =   e u

d u d x =   ln ⁡ ( ln ⁡ ( x ) ) + 1 x

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores encontrados:

d y d x = e u   . ln ⁡ ( ln ⁡ ( x ) ) + 1 x  

d y d x = e ln ⁡ x ln ⁡ ( ln ⁡ ( x ) )   . ln ⁡ ( ln ⁡ ( x ) ) + 1 x  

d y d x = e ln ⁡ x ln ⁡ ( ln ⁡ ( x ) )   . ln ⁡ ( ln ⁡ ( x ) ) + 1 x

d y d x = ln ⁡ x ln ⁡ x   . ln ⁡ ( ln ⁡ ( x ) ) + 1 x

Resposta

d y d x = ln ⁡ x ln ⁡ x   . ln ⁡ ( ln ⁡ ( x ) ) + 1 x

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