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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.Revisão - Ex. 22

Calcule o valor da integral múltipla.

∫ ∫ D x   d A  

Onde D é a região do primeiro quadrante que se encontra entre os círculos x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 2 .

Passo 1

Fala, minha gente! Tudo na boa?

Nossa questão pede o valor da integral dupla:

∫ ∫ D x   d A  

Na região D , onde D é a região do primeiro quadrante que se encontra entre os círculos

x 2 + y 2 = 1

e

x 2 + y 2 = 2

Como nosso domínio de integração são regiões circulares, fica bem mais fácil se nós descrevemos essa região em coordenadas polares. De coordenadas cartesianas para polares temos as relações:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

Então, para resolver essa questão precisamos dos limites de integração em coordenadas polares da nossa integral. Uma vez que obtivermos esses limites, é só calcularmos nossa integral dupla de forma iterada, começando “de dentro para fora”!

Lembrando que para coordenadas polares, temos:

d A = r   d r   d θ

Vamos juntos!

Passo 2

Vamos passar nossas variáveis para coordenadas polares. Vamos começar reescrevendo nossa função que está sendo integrada como:

x = r cos ⁡ θ

Pensando nos nossos limites de integração, temos:

x 2 + y 2 = 1

e

x 2 + y 2 = 2

Como temos para coordenadas polares:

x 2 + y 2 = r 2

Substituindo, ficamos com:

r 2 = 1

E:

r 2 = 2

Isolando r :

r = 1

E:

r = 2

Teremos a variação:

1 ≤ r ≤ 2

Como o enunciado diz que nossa região está somente no primeiro quadrante, teremos:

0 ≤ θ ≤ π 2

Tomando:

d A = r   d r   d θ

Nossa integral será:

∫ 0 π 2 ∫ 1 2 r ⋅ cos ⁡ θ ⋅ r   d r   d θ  

Passo 3

Beleza, agora que temos nossa integral escrita de forma iterada podemos calcular seu valor de forma bem tranquila, vindo de ‘dentro pra fora’ e enquanto resolvemos uma integral em uma variável consideraremos tudo o que não for essa variável como constante. Dessa forma, temos

∫ 0 π 2 ∫ 1 2 r ⋅ cos ⁡ θ ⋅ r   d r   d θ

Resolvendo a integral mais interna em relação a r , vamos ter

∫ 1 2 r 2 ⋅ cos ⁡ θ   d r   = r 3 3 ⋅ cos ⁡ θ 1 2

Aplicando os limites de integração:

= 2 3 3 - 1 3 ⋅ cos ⁡ θ

Agora, ficamos com a seguinte integral simples a ser resolvida, em relação a θ :

∫ 0 π 2 2 3 3 - 1 3 ⋅ cos ⁡ θ   d θ = 2 3 3 - 1 3 ⋅ sin ⁡ θ 0 π 2

Aplicando os limites de integração:

= 2 3 3 - 1 3

Pronto, tá resolvido nosso exercício sem muitos problemas.

∫ 0 π 2 ∫ 1 2 r ⋅ cos ⁡ θ ⋅ r   d r   d θ = 2 3 3 - 1 3

Resposta

2 3 3 - 1 3

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