Enunciado
Cálculo Numérico - Ruggiero - Aspectos Teóricos e Computacionais- Ed: 2º - Capítulo 8.Exercícios - Ex. 6
6.
a) Deduza o método implícito para resolver o PVI:
Onde usamos a regra dos Trapézios para calcular a integral acima.
b) Encontre a expressão do erro cometido
c) Compare com o método de Euler, em termos de erros
Passo 1
a) E aí meus queridossss!
Se liga só! Vamos começar usando o método dos trapézio para descobrir o valor da integral abaixo...
Chamando de , temos que:
Resolvendo então, a integral:
E então chegamos à seguinte equação abaixo...
O que nos leva à seguinte expressão final...
Passo 2
b) E como vamos quantificar o erro desse método? Ele pode ser determinado por:
Quando
Sendo um valor limitante que obtemos das interpolações, podemos encontrar um limitante para o erro dessa forma:
Onde é o passo e é valor máximo da segunda derivada da função:
Passo 3
c) Sabemos que o erro de truncamento do Método de Euler é dado por...
Muito parecido com o do método das letra (a) e (b). O diferencial aqui é o .
Percebam que enquanto em um, o está elevado ao cubo no outro o está elevado ao quadrado. Isso garante que o erro de truncamento do Método de Euler seja maior, e portanto o método de Euler é menos eficiente do que o proposto pelo exercício.
Resposta
a)
b)
c)