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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.1 - Ex. 9

Utilize o método do Exemplo 3 para determinar ( a ) o coeficiente angular da curva no ponto P dado, e ( b ) uma equação da reta tangente em P .

y = x 2 - 2 x - 3

P ( 2 , - 3 )

Passo 1

Precisamos determinar inicialmente o coeficiente angular m t , e, com estes dados, vamos utiliza-lo para montar uma reta tangente a curva no ponto P . Esta reta possui a seguinte equação:

y - y 0 = m t ( x - x 0 )

Em que ( x 0 , y 0 ) são as coordenadas do nosso ponto P . Só que esta questão possui um pequeno detalhe. Precisamos utilizar a metodologia do Exemplo 3, resolvido durante a seção 2.1, para resolver este problema. Vamos relembrar então esta metodologia.

Seja f x a nossa curva, vamos começar por determinar o coeficiente angular de uma reta secante a curva nos pontos P x 0 , f x 0 e Q x 0 + h , f x 0 + h . O coeficiente angular m s é dado por:

m s = Δ y Δ x = f x + h - f ( x 0 ) x 0 + h - x 0

Dado um intervalo x 0 , x 1 , obter a taxa de variação de uma função f ( x ) nada mais é do que obter o seguinte quociente:

Δ y Δ x = f x 1 - f ( x 0 ) x 1 - x 0

Se fizermos h → 0 , o coeficiente m s → m t . Vamos então as contas!

Passo 2

Vamos começar por determinar o coeficiente m s . Portanto, sejam os pontos P ( 2 , - 3 ) e Q 2 + h ; 2 + h 2 - 2 2 + h - 3 , temos:

m s = Δ y Δ x = 2 + h 2 - 2 2 + h - 3 - [ - 3 ] 2 + h - 2

m s = 4 + 4 h + h 2 - 4 - 2 h h = 2 h + h 2 h

m s = 2 + h

Passo 3

Quando h → 0 ,

m s = 2 = m t

Portanto, o coeficiente angular no ponto P é igual a 2 .

Passo 4

A equação da reta tangente a curva no ponto P é:

y - ( - 3 ) = 2 ( x - 2 )

y = 2 x - 7

Resposta

  1. 2
  2. y = 2 x - 7
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