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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.8 - Ex. 40

Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados.

  • Exercício 50

Passo 1

Pra relembrar o que pede nesse exercício: Determine as dimensões da caixa retangular de maior volume se a área total de sua superfície é dada por 64   c m 2 .

Vamos colocar que as dimensões da caixa são x ,   y   e   z .

O volume então é dado pela função f ( x , y , z ) = x y z .

Nós queremos então o máximo dessa função com a restrição de que a área da superfície tem que ser:

g x , y , z = 2 x y + 2 x z + 2 y z = 64

Pelos multiplicadores de Lagrange, precisamos de:

∇ f x , y , z = λ ∇ g x , y , z

Passo 2

Trazendo pro nosso caso temos:

y z ,   x z ,   x y = λ 2 y + 2 z ,   2 x + 2 z ,   2 x + 2 y

y z = λ ( 2 y + 2 z )

x z = λ ( 2 x + 2 z )

x y = λ ( 2 x + 2 y )

Pela função do volume, nenhuma das letras pode valer zero (a gente quer o máximo né?!) Então a gente vai isolar o λ ...

λ = y z 2 y + 2 z = x z 2 x + 2 z = x y 2 x + 2 y

y z 2 y + 2 z = x z 2 x + 2 z

2 x y + 2 z x = 2 x y + 2 z y

2 z x = 2 z y

x = y

Da mesma forma a gente descobre que x = z , então x = y = z , bora jogar isso na restrição agora.

Passo 3

Substituímos na restrição agora...  

2 x y + 2 x z + 2 y z = 64

2 x 2 + 2 x 2 + 2 x 2 = 64

6 x 2 = 64

x 2 = 64 6

x = 64 6 = 8 6

E então, x = 8 6 = y = z .

Essas são as dimensões então: as três medem 8 6 c m

Resposta

x = y = z = 8 6

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