Mostrar que o paralelepípedo retângulo de maior volume que pode ser colocado dentro de uma esfera tem a forma de um cubo.

Passo 1

Beleza galera, vamos olhar o nosso paralelepípedo retângulo mais de perto:

Para que ele tenha a forma de cubo, acharemos que a = b = c , certo?

Para que este paralelepípedo caiba na nossa esfera de raio r, o que deverá acontecer?

Acertou quem disse que a diagonal dele deverá ter o valor do diâmetro da esfera, vamos olhar desenho:

A diagonal é dada por:

d i a g o n a l =   a 2 + b 2 + c 2

E o diâmetro:

d i â m e t r o = 2 r

Neste caso nós temos um problema de otimização restrita, ou seja, queremos encontrar o valor máximo para o volume, mas sabendo que d i a g o n a l = d i â m e t r o :

s . a .                   a 2 + b 2 + c 2 =   2 r

Elevando ambos os lados ao quadrado:

s . a .                   a 2 + b 2 + c 2 =   4 r 2

Então, nós teremos o seguinte problema de otimização:

max ⁡                                                                                     a b c

s . a .                             a 2 + b 2 + c 2 =   4 r 2

Passo 2

Colocando na fórmula de Lagrange:

L = a b c - λ ( a 2 + b 2 + c 2 - 4 r 2 )

Derivando L em relação às variáveis a, b e c e igualando as derivadas a zero:

∂ L ∂ a = b c - 2 a λ = 0

∂ L ∂ b = a c - 2 b λ = 0

∂ L ∂ c = a b - 2 c λ = 0

∂ L ∂ λ = - ( a 2 + b 2 + c 2 - 4 r 2 ) = 0

Igualando as duas primeiras equações nós achamos:

a = ± b

Se igualamos a segunda e a terceira achamos:

b = ± c

Como estamos nos tratando de medidas, teremos o valor positivo.

Ou seja:

a = b = c

E já sabemos que representa um cubo, não é?!

E fim galerinhaa!

Resposta

a = b = c

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