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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.8 - Ex. 41

Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados.

  • Exercício 51

Passo 1

Pra relembrar o que pede nesse exercício: Determine as dimensões de uma caixa retangular de volume máximo tal que a soma dos comprimentos de suas 12 arestas seja uma constante c .

Vamos colocar que as dimensões da caixa são x ,   y   e   z .

O volume então é dado pela função f ( x , y , z ) = x y z .

Nós queremos então o máximo dessa função com a restrição de que a soma dos comprimentos das arestas seja c . Bom, a gente tem 4 arestas de cada né? Então nossa restrição é:

g x , y , z = 4 x + y + z = c

Pelos multiplicadores de Lagrange, precisamos de:

∇ f x , y , z = λ ∇ g x , y , z

Passo 2

Trazendo pro nosso caso temos:

y z ,   x z ,   x y = λ 4,4 , 4

y z = 4 λ

x z = 4 λ

x y = 4 λ

Pela função do volume, nenhuma das letras pode valer zero (a gente quer o máximo né?!)

Daí a gente tira que:

y z = x z = x y

y z = x z → y = x

x z = x y

z = y

Então, temos que x = y = z . Jogamos na restrição...

Passo 3

Substituímos na restrição agora...  

4 x + y + z = c

4 3 x = c

12 x = c

x = c 12

E então, x = y = z = c 12

Essas são as dimensões então: as três medem c 12     .

Resposta

x = y = z = c 12

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