Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.8 - Ex. 34
Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados.
- Exercício 44
Passo 1
Pra relembrar o que pede nesse exercício: Determine os pontos da superfície que estão mais próximos da origem.
Bom, a distância de um ponto à origem é dada por:
Pra achar a menor distância, podemos minimizar essa função (achar o valor mínimo dela) na restrição do ponto pertencer a superfície .
Vamos fazer a função ao quadrado para não trabalharmos com raiz. Mas temos:
E
Para usar os multiplicadores de Lagrange precisamos fazer:
Passo 2
Bom, no nosso caso então temos:
Aí a gente iguala:
Da primeira e terceira temos que:
Se , temos que e .
Se , então temos pela segunda equação que ...
Passo 3
Bom, se , temos:
Agora, se , temos:
O que implica que , e como estamos na condição de , essa não vale.
Passo 4
Os pontos que encontramos então são:
Vamos ver em quais a distância dá menor então...
Os pontos de menor distância então são .