Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.8 - Ex. 44
Determine os volumes máximo e mínimo da caixa retangular cuja superfície tem e cuja soma dos comprimentos das arestas é .
Passo 1
Falaee, tudo tranquilinho?? Bom... queremos determinar os volumes máximo e mínimo da caixa retangular cuja superfície tem e cuja soma dos comprimentos das arestas é .
Para determinar esses volumes, teremos que utilizar o Método dos Multiplicadores de Lagrange!!
Mas que método é esse???
Então... para determinar os valores máximo e mínimo de sujeitos às restrições e (supondo que esses valores extremos existam e que e sobre as superfícies e , respectivamente), então:
Esses e são os nossos multiplicadores de Lagrange!!!
Se ainda ficou confuso, é o seguinte: Primeiro vamos calcular os gradientes de (ou seja, ), depois os de (ou seja, ) e, por fim, os de (ou seja, ).
Em seguida, iremos calcular o valor de e utilizando a equação que você acabou de ver. Com isso, aplicando nas nossas restrições e encontraremos os valores que desejamos!!
Pera... mas quem é e quem são nossas restrições e ??
Bom... a função será o volume da nossa caixa, ou seja:
A nossa função será dada pela área da superfície da caixa, ou seja:
Ou de forma simplificada:
E o nosso será dado pela soma do comprimento das arestas:
Agora bora lá!! 😉
Passo 2
Vamos então tirar os gradientes das nossas funções!
Primeiro vamos para a função :
Para calcular o gradiente , basta aplicarmos as derivadas parciais!!
Derivando com relação a , aplicando a Regra da Potência, obtemos:
Derivando em relação a de forma análoga:
E, para :
Assim, nosso gradiente é:
Passo 3
Agora vamos para a função :
Derivando com relação a , aplicando a Regra da Potência, obtemos:
Derivando em relação a de forma análoga:
E, para :
Assim, nosso gradiente é:
Passo 4
Agora vamos para a função :
Derivando com relação a , aplicando a Regra da Potência, obtemos:
Derivando em relação a de forma análoga:
E, para :
Assim, nosso gradiente é:
Passo 5
Beleza, temos nossos gradientes, agora vamos encontrar um que satisfaça a equação.
Para isso, basta aplicarmos os gradientes que encontramos no passo anterior na equação que apresentamos no Passo 1:
Daí, vamos tirar que:
Vamos analisar isso mais a fundo?? 😉
Passo 6
Bom... vamos assumir que seja um lado com tamanho distinto dos outros (já que o enunciado disse que a nossa caixa é retangular, e não em formato de cubo).
Com isso se subtrairmos a primeira equação pela segunda equação do sistema, encontraremos:
De forma análoga, se subtrairmos a primeira equação pela terceira equação do sistema, encontraremos:
Com isso, podemos concluir que:
Passo 7
Com a conclusão do passo anterior, aplicando em , teremos:
E, aplicando a mesma conclusão em , teremos:
Substituindo , obtemos:
Resolvendo a equação do segundo grau, vamos obter as seguintes raízes:
Passo 8
Com o resultado anterior, agora podemos obter os pontos críticos ao substituir :
E vamos também lembrar de :
Em outras palavras, teremos os seguintes pontos:
E
Agora vamos substituir em para descobrir quem são so volumes máximos e mínimos!!
Passo 9
Da função , temos:
Substituindo o primeiro ponto que encontramos, temos:
E, substituindo o segundo ponto que encontramos, temos:
Dessa forma, podemos concluir que o nosso volume será máximo quando:
E o nosso volume será mínimo quando:
😉