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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.8 - Ex. 34

Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados.

E x e r c í c i o   44

44 ) Encontre três números positivos cuja soma é 12 e cuja soma dos quadrados é a menor possível.

Passo 1

Oie, tudo bem? Espero que esteja tudo tranquilo e que você está pronto para mais uma resolução.

O objetivo dessa questão é resolver a questão 44 , utilizando os multiplicadores de Lagrange. A questão 44 nos diz o seguinte:

Encontre três números positivos cuja soma é 12 e cuja soma dos quadrados é a menor possível.

Isso pode ser tradutizo pela função

f x ,   y ,   z = x 2 + y 2 + z 2

restrita a

g x ,   y ,   z = x + y + z = 12

Então, para usar multiplicadores de Lagrange, devemos ter:

∇ f = λ ∇ g

Em que ∇ f é o gradiente, e é calculado da seguinte forma:

∇ f = f x ,   f y

Passo 2

Vamos dar inicio então aos cálculos, iremos encontrar então o gradiente, veja que precisamos calcular as derivads parciais. Para o calculo da derivada parcial a gente precisa derivar em relação a variável que a gente quer, e considerar todas as outras como constantes:

f x ,   y ,   z = x 2 + y 2 + z 2

f x = 2 x

f y = 2 y

E

f z = 2 z

Agora para a restrição:

g x ,   y ,   z = x + y + z = 12

g x = 1

g y = 1

E

g z = 1

Teremos então nosso gradiente como:

2 x ,   2 y ,   2 z = λ 1 ,   1 ,   1

Então ficamos com quatro equações:

2 x = λ                     2 y = λ                     2 z = λ                     x + y + z = 12

Igualando o λ de cada equação, temos:

λ = 2 x = 2 y = 2 z

x = y = z

Usando essa informação na última equação, obtemos:

x + x + x = 12

3 x = 12

x = y = z = 4

Resposta

Os três números são iguais a 4 .

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