Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.8 - Ex. 39
Resolva pelo método dos multiplicadores de Lagrange o exercício da seção .
Determine as dimensões de uma caixa retangular de volume máximo tal que a soma dos comprimentos de suas arestas seja uma constante .
Passo 1
Hello, vou te ajudar a resolver essa atividade.
Queremos achar as dimensões , e que maximizam o volume de uma caixa mas de modo que a soma dos comprimentos de suas arestas seja uma constante .
Assim, queremos maximizar a função:
com a restrição:
Cada aresta aparece quatro vezes na caixa, assim a soma das arestas será .
Desta forma, queremos maximizar sujeita à restrição
Pelo método dos multiplicadores de Lagrange:
Então iremos basicamente encontra o gradiente das duas funções:
Para realizar a derivação parcial deveremos derivar em relação a variável que queremos e consideramos as outras variáveis como constante.
Passo 2
Tomando os gradientes:
Assim,
Portanto,
Assim, tiramos que
Como as dimensões da caixa não pode ser zero, podemos simplificar na equação, obtendo:
Analogamete, igualando a segunda equação do sistema com a terceira:
Obtivemos então:
Substituindo isso na restrição:
Como esse é o único candidato obtido e pela natureza do problema existe um máximo, ele é o máximo! Assim, o volume é dado por