Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.8 - Ex. 4
Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
Passo 1
Oii, tudo bem?? Bom... o enunciado nos deu essa funçãozinha:
Queremos determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita a seguinte restrição:
A gente pode transformar essa expressão em uma função passando todo mundo para um lado da igualdade (já já você vai entender hehe):
Para determinarmos os valores, teremos que utilizar o Método dos Multiplicadores de Lagrange!!
Mas que método é esse???
Então... para determinar os valores máximo e mínimo de sujeitos à restrição (supondo que esses valores extremos existam e que sobre a superfície ), então:
Esse é o nosso multiplicador de Lagrange!!!
Se ainda ficou confuso, é o seguinte: Primeiro vamos calcular os gradientes de (ou seja, ) e depois os de (ou seja, ).
Em seguida iremos calcular o valor de utilizando a equação que você acabou de ver. Com isso, aplicando na nossa restrição encontraremos os valores de máximo e mínimo!!!
Agora bora lá!! 😉
Passo 2
Vamos então tirar os gradientes das nossas funções!
Primeiro vamos para a função :
Para calcular o gradiente , basta aplicarmos as derivadas parciais!!
Derivando em relação a , temos:
Derivando em relação a :
Assim, nosso gradiente é:
Agora vamos para a função :
Derivando com relação a , obtemos:
Derivando em relação a :
Assim, nosso gradiente é:
Passo 3
Beleza, temos nossos gradientes, agora vamos encontrar um que satisfaça a equação.
Para isso, basta aplicarmos os gradientes que encontramos no passo anterior na equação que apresentamos no Passo 1:
Daí, vamos tirar que:
E
Igualando nosso , teremos:
Isolando :
Passo 4
Vamos voltar na nossa restrição agora e substituir , olha só:
Substituindo pelo valor que encontramos no passo anterior:
Isolando , obtemos:
Daí temos dois valores para , dependendo do :
Para , temos:
E, para , temos:
Cara, então vamos ter em e o nosso máximo e nosso mínimo, show de bola?
Mas qual deles seria o ponto máximo e qual seria o mínimo??
É só substituir esses pontos na nossa função , e daí analisar o maior e menor valor, aí sim nós teremos o máximo e o mínimo!
Passo 5
Estamos quase acabando, vamos lá!
Em , substituindo na nossa função , teremos:
E agora com , teremos:
Daí, em teremos nosso valor máximo, que é . E em teremos nosso mínimo sendo .
Prontinho! Conseguimos!
Resposta
Em teremos nosso valor máximo e em teremos nosso mínimo.