Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.8 - Ex. 19
Determine os valores extremos de na região descrita pela desigualdade
Passo 1
Oie meu amigo, vamos resolver essa atividade hoje, vou te ajudar por aqui.
A questão pede para acharmos os extremos de na região interna ao círculo de raio .
Assim, temos que considerar tanto os pontos dentro da circunferência no interior da região como os pontos de fronteira sobre ela!
Como essa região é um conjunto fechado e limitado, podemos aplicar o teorema do valor extremo garantindo que tem máximo e mínimo sobre ela! O que temos que fazer agora é achar os candidatos a extremos...
Teremos dois tipos de candidatos: pontos no interior da região e pontos de fronteira. Para os pontos do interior, basta fazer .
Para a froteira, dada pela equação , usamos o método dos multiplicadores de Lagrange com
Assim,
Portanto,
Depois desses cálculos iremos substituir os pontos que encontramos na equação da função, ali iremos encontrar o valor de máximo e de mínimo.
Passo 2
Tomando as derivadas parciais:
Assim, o único candidato a extremo no interior da região é o ponto .
Para a froteira, dada pela equação , usamos o método dos multiplicadores de Lagrange com
Assim,
Portanto,
Assim, precisamos satisfazer a igualdade entre os vetores:
Assim,
Agora substituímos isso na equação :
Obtemos assim dois novos candidatos a extremos:
E
Nossos candidatos serão então:
Passo 3
Por fim, temos apenas que avaliar o valor da função nos pontos encontrados:
Assim, o mínimo ocorre em e o máximo em .