Utilize operações de séries de potências para encontrar a série de Taylor em x = 0 para as funções nos Exercícios 11-28.

(x^2 / 2) - 1 + cos(x)

Passo 1

Iaiii pessoal, espero que estejam bem! Vamos lá pra mais uma questão de Séries de Taylor!

O que vamos fazer aqui é usar uma série já conhecida de Taylor para definir a função dessa série, e depois adequar para a série que é trazida no enunciado.

A série que conhecemos que é passível de usarmos nesse caso é a seguinte:

c o s   x = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - … + - 1 n x 2 n ( 2 n ) ! + …

Assim, conhecendo esses termos acima, sabemos que a função dessa série conhecida é a seguinte

c o s   x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n ( 2 n ) !

Passo 2

O que ajuda a entender o que estamos fazendo é relacionar essa série com a pedida, justificando assim:

x 2 2 - 1 + cos ⁡ x = x 2 2 - 1 + ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n ( 2 n ) !

Sendo assim, podemos escrever os termos da nossa série como:

x 2 2 - 1 + ∑ n = 2 ∞ - 1 n x 2 n 2 n ! = x 2 2 - 1 + 1 - x 2 2 + x 4 4 ! - x 6 6 ! + x 8 8 ! - x 10 10 ! + …

Passo 3

Podemos então perceber que a função da nossa série é a seguinte:

x 2 2 - 1 + cos ⁡ x = ∑ n = 2 ∞ - 1 n x 2 n ( 2 n ) !

E dessa forma, podemos escrever os primeiros termos da série pedida na questão:

∑ n = 2 ∞ - 1 n x 2 n ( 2 n ) ! = x 4 4 ! - x 6 6 ! + x 8 8 ! - x 10 10 ! + …

Resposta

∑ n = 2 ∞ - 1 n x 2 n ( 2 n ) ! = x 4 4 ! - x 6 6 ! + x 8 8 ! - x 10 10 ! + …

Valeu galera! Até a próxima questão!

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