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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.9 - Ex. 4

Utilize a substituição (como no Exemplo 4) para encontrar a série de Taylor em x = 0 das funções nos Exercícios 1-10.

  s e n   π x 2

Passo 1

Oi oi galera, vocês tão bem? Espero que sim! Vamos lá pra mais uma questão de Série de Taylor comigo!

Nossa primeira tarefa é escrever os termos da série que é trazida no enunciado.

Isso é tranquilo porque assim como o enunciado disse, é uma série conhecida! Dessa forma, temos os seguintes termos:

s e n   x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - …

Podemos então escrever a função dessa série como:

s e n   x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 !

Passo 2

Agora que já sabemos a estrutura da série, podemos adaptar essa estrutura à série trazida no enunciado. Dessa forma, temos:

s e n   π x 2 = π x 2 - π x 2 3 3 ! + π x 2 5 5 ! - π x 2 7 7 ! …

Ou seja, a série de Taylor pra esse caso vai ser igual a:

s e n   π x 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n π 2 n + 1 x 2 n + 1 2 2 n + 1 2 n + 1 !

Resposta

∑ n = 0 ∞ - 1 n π 2 n + 1 x 2 n + 1 2 2 n + 1 2 n + 1 ! = π x 2 - π x 2 3 3 ! + π x 2 5 5 ! - π x 2 7 7 ! …

Questão massa! Até a próxima, galera!

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