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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.7 - Ex. 52

A série

e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! + x 5 5 ! + …

Converge para e x para todo x .

a. Encontre a série para d d x e x . Você obtém a série para e x ? Explique sua resposta.

b. Encontre uma série para ∫ e x   d x . Você obtém a série para e x ? Explique sua resposta.

c. Substitua x por - x na série para e x para encontrar uma série que convirja para e - x para todo x . Em seguida, multiplique a série para e x e e x para encontrar os seis primeiros termos de uma série para e - x ∙ e x .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A – Nós temos que e x é igual a

e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! + x 5 5 ! + …

Nesse caso, nós vamos diferenciar a série acima nos dois lados, com isso mantendo a igualdade dos termos,

d d x e x = d d x 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! + x 5 5 ! + …

A derivada de e x é o próprio e x , já para o lado direito

d d x e x = 0 + 1 + 2 x 2 ! + 3 x 2 3 ! + 4 x 3 4 ! + 5 x 5 5 ! + …

Como um fatorial é dado por n ! = n ∙ n - 1 ! , com isso, nós temos que

d d x e x = 1 + 2 x 2 ∙ 1 ! + 3 x 2 3 ∙ 2 ! + 4 x 3 4 ∙ 3 ! + 5 x 5 5 ∙ 4 ! + …  

Então, nós conseguimos a série de e x pela derivada de e x .

Passo 2

B – Nós vamos integrar a série dada nos dois lados com respeito a x nós temos que

∫ e x   d x = ∫ 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! + x 5 5 ! + …   d x

Com isso, expandindo as integrais

∫ e x   d x = ∫ d x + ∫ x   d x + ∫ x 2 2 ! d x + ∫ x 3 3 ! d x + ∫ x 4 4 ! d x + ∫ x 5 5 ! d x + …

Desenvolvendo os termos, nós temos que

∫ e x   d x = x + x 2 2 + x 3 3 ∙ 2 ! + x 4 4 ∙ 3 ! + x 5 5 ∙ 4 ! + … + C

Com isso, nós temos que

∫ e x   d x = e x + C

Onde C é a constante de integração.

Passo 3

C - Colocando x = - x na série dada para e x , obtemos

e - x = 1 + - x + - x 2 2 ! + - x 3 3 ! + - x 4 4 ! + - x 5 5 ! + …

Com isso, nós temos o seguinte resultado

e - x = 1 - x + x 2 2 ! - x 3 3 ! + x 4 4 ! - x 5 5 ! + …

A série converge para e - x para todo x . Agora, fazendo a multiplicação das duas séries e x e e - x , nós temos que

e - x ∙ e x = 1 - x + x 2 2 ! - x 3 3 ! + x 4 4 ! - x 5 5 ! + … 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! + x 5 5 ! + …

Desenvolvendo os termos

e - x ∙ e x = 1 ∙ 1 + 1 ∙ 1 - 1 ∙ 1 x + 1 ∙ 1 2 ! - 1 ∙ 1 + 1 2 ! ∙ 1 x 2 +

1 ∙ 1 3 ! - 1 ∙ 1 2 ! + 1 2 ! ∙ 1 - 1 3 ! ∙ 1 x 3 + …

Que basicamente nos fornece a seguinte sequência, já que temos um padrão aqui

e - x ∙ e x = 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + … = 1

Resposta

Respondido acima!

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