Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.7 - Ex. 56

Soma da série ∑ n = 0 ∞ n 2 2 n - Para encontrar a soma dessa série, expresse 1 1 - x como uma série geométrica, derive ambos os lados da equação resultante em relação a x , multiplique ambos os lados do resultado por x , derive novamente, multiplique por x novamente e faça x igual a 1 / 2 . O que você obtém?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Da seção 10.2, sabemos que uma série geométrica é uma série da forma

∑ n = 1 ∞ a r n - 1 = a + a r + a r 2 + a r 3 + …

Também sabemos que esta série converge para todo r tal que r < 1 para

a 1 - r

Esse valor diverge para qualquer r de forma que r ≥ 1 . Comparando isso com a função racional f x = 1 1 - x , nós vemos que qualquer x de tal forma x < 1 , nós temos que

f x = 1 1 - x = ∑ n = 1 ∞ x n - 1

Comparando isso com o racional, isto é, nosso primeiro termo, a , é 1 e nossa razão comum, r , é neste caso x .

Passo 2

Agora, usando o Teorema da Diferenciação Termo a Termo desta seção, vemos que podemos obter a derivada do lado direito da equação

1 1 - x = ∑ n = 1 ∞ x n - 1   ( 1 )

Essencialmente, este teorema nos diz que para qualquer série de potências (da qual a série geométrica é um tipo particular)

d d x ∑ c n x - a n = ∑ d d x c n x - a n

Então vamos tirar a derivada de ambos os lados de (1).

d d x 1 1 - x = d d x 1 - x - 1 = - 1 - x - 2 - 1 = 1 1 - x 2

E para o lado direito

d d x ∑ n = 1 ∞ x n - 1 = ∑ n = 1 ∞ d d x x n - 1 = ∑ n = 1 ∞ n - 1 x n - 2 = ∑ n = 2 ∞ n - 1 x n - 2

Portanto,

1 1 - x 2 = ∑ n = 2 ∞ n - 1 x n - 2   ( 2 )

Passo 3

Agora, seguindo as instruções do exercício, sabemos que devemos multiplicar ambos os lados de (2) por x e diferenciar novamente. Multiplicando por x dá

x 1 - x 2 = x ∑ n = 2 ∞ n - 1 x n - 2

Mas observe que qualquer x fixo no intervalo (−1,1) é constante (em relação à variável n ), portanto pode ser inserido na série. ou seja

x ∑ n = 2 ∞ n - 1 x n - 2 = ∑ n = 2 ∞ n - 1 x x n - 2 = ∑ n = 2 ∞ n - 1 x n - 1

Portanto, nós temos que

x 1 - x 2 = ∑ n = 2 ∞ n - 1 x n - 1

Agora diferenciamos novamente, exatamente como na parte anterior.

d d x x 1 - x 2 = 1 1 - x 2 - x 2 1 - x - 1 1 - x 4

Desenvolvendo os termos

d d x x 1 - x 2 = 1 - x 2 + 2 x 1 - x 1 - x 4 = 1 - x 2 1 - x 4

Mais um pouco...

d d x x 1 - x 2 = 1 - x 1 + x 1 - x 4 = 1 + x 1 - x 3

Passo 4

Adicionando isso na igualdade à direita, temos

d d x ∑ n = 2 ∞ n - 1 x n - 1 = ∑ n = 2 ∞ d d x n - 1 x n - 1 = ∑ n = 2 ∞ n - 1 2 x n - 2

Nós encontramos que

1 + x 1 - x 3 = ∑ n = 2 ∞ n - 1 x n - 1

Para todo x desde que x < 1 . Seguindo as próximas instruções na instrução do exercício, multiplicamos por x em ambos os lados novamente para obter

x + x 2 1 - x 3 = ∑ n = 2 ∞ n - 1 2 x n - 2

E colocando x = 1 2 , nós obtemos

1 2 + 1 2 2 1 - 1 2 3 = 3 4 1 8 = 6

Com isso,

∑ n = 2 ∞ n - 1 2 1 2 n - 1 = ∑ n = 2 ∞ n - 1 2 2 n - 1   ( 3 )

Passo 5

Para obter esta última série na forma que vemos na pergunta, precisaremos reindexar a série. Lembre-se da seção 10.2 que, para qualquer inteiro h e qualquer sequência ( a n ) , vale o seguinte:

∑ n = 1 ∞ a n = ∑ n = 1 + h ∞ a n - h

Pegando h = 1 (ou - 1 dependendo de como a fórmula) e aplicando este processo em (3), nós encontramos

6 = ∑ n = 2 ∞ n - 1 2 2 n - 1 = ∑ n = 1 ∞ n 2 2 n

Observe, porém, que o índice não começa no lugar correto: na instrução do exercício, n começa em 0 . Mas observe que em n = 0 o somatório é igual a 0 . Então, na verdade

6 = ∑ n = 1 ∞ n 2 2 n = ∑ n = 0 ∞ n 2 2 n ∴

Resposta

∑ n = 1 ∞ n 2 2 n = 6

Exercícios de Livros Relacionados

Utilize operações de séries de potencias para encontrar a série de Taylor em x = 0 para a função cos ⁡ x - sen ⁡ x .
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência. f x = x 2 + x ( 1 - x ) 3
Nos Exercícios 41-48, utilize o Teorema 20 para encontrar o intervalo de convergência da série e, dentro desse intervalo, a soma da série como uma função de x. ∑ n = 0 ∞ x + 1 2 n 9 n
Nos Exercícios 41-48, utilize o Teorema 20 para encontrar o intervalo de convergência da série e, dentro desse intervalo, a soma da série como uma função de x. ∑ n = 0 ∞ e x - 4 n
Nos Exercícios 41-48, utilize o Teorema 20 para encontrar o intervalo de convergência da série e, dentro desse intervalo, a soma da série como uma função de x. ∑ n = 0 ∞ x - 1 2 n 4 n