Utilize operações de séries de potências para encontrar a série de Taylor em x = 0 para as funções nos Exercícios 11-28.

x^2 * sen x

Passo 1

Oi oi colegas, espero que estejam bem! Vamos lá pra mais uma questão de Séries de Taylor!

O caminho das pedras nessa questão é usar uma série já conhecida de Taylor para definir a função dessa série, e depois adequar para a série que é trazida no enunciado.

Sendo assim, a série que conhecemos que é passível de usarmos nesse caso é a seguinte:

s e n   x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! … + - 1 n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! + …

Logo, conhecendo esses termos acima, sabemos que a função dessa série conhecida é a seguinte

s e n   x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) !

Passo 2

Vamos relacionar essa série com a pedida, justificando assim:

x 2 s e n   x = x 2 ( s e n   x )

Logo, podemos escrever a função da nossa série como:

x 2 s e n   x = x 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) !

Passo 3

Simplificando matematicamente, temos:

x 2 s e n   x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 3 ( 2 n + 1 ) !

E dessa forma, podemos escrever os primeiros termos da série pedida na questão:

∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 3 ( 2 n + 1 ) ! = x 3 - x 5 3 ! + x 7 5 ! - x 9 7 ! …

Resposta

∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 3 ( 2 n + 1 ) ! = x 3 - x 5 3 ! + x 7 5 ! - x 9 7 ! …

Eai, curtiram?! Nos vemos na próxima questão, galera!

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