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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.9 - Ex. 12

Utilize operações de séries de potências para encontrar a série de Taylor em x = 0 para as funções nos Exercícios 11-28.

x 2 s e n   x

Passo 1

Oi oi colegas, espero que estejam bem! Vamos lá pra mais uma questão de Séries de Taylor!

O caminho das pedras nessa questão é usar uma série já conhecida de Taylor para definir a função dessa série, e depois adequar para a série que é trazida no enunciado.

Sendo assim, a série que conhecemos que é passível de usarmos nesse caso é a seguinte:

s e n   x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! … + - 1 n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! + …

Logo, conhecendo esses termos acima, sabemos que a função dessa série conhecida é a seguinte

s e n   x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) !

Passo 2

Vamos relacionar essa série com a pedida, justificando assim:

x 2 s e n   x = x 2 ( s e n   x )

Logo, podemos escrever a função da nossa série como:

x 2 s e n   x = x 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) !

Passo 3

Simplificando matematicamente, temos:

x 2 s e n   x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 3 ( 2 n + 1 ) !

E dessa forma, podemos escrever os primeiros termos da série pedida na questão:

∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 3 ( 2 n + 1 ) ! = x 3 - x 5 3 ! + x 7 5 ! - x 9 7 ! …

Resposta

∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 3 ( 2 n + 1 ) ! = x 3 - x 5 3 ! + x 7 5 ! - x 9 7 ! …

Eai, curtiram?! Nos vemos na próxima questão, galera!

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 41-48, utilize o Teorema 20 para encontrar o intervalo de convergência da série e, dentro desse intervalo, a soma da série como uma função de x .45. ∑ n = 0 ∞ x 2 - 1 n
A série sen ⁡ x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - x 7 7 ! + x 9 9 ! - x 11 11 ! + … converge para sen ⁡ x para todo x .a. Encontre os seis primeiros termos de uma série para cos ⁡ x . Para quais valores de x
a. Mostre que se duas séries de potências ∑ n = 0 ∞ a n x n e ∑ n = 0 ∞ b n x n são convergentes e iguais para todos os valores de x em um intervalo aberto ( - c , c ) , então a n = b n para todo n .
Para quais valores de x a série 1 - 1 2 x - 3 + 1 4 x - 3 2 + … + - 1 2 n x - 3 n + … converge? Qual é sua soma? Qual série você obtém se derivar a série dada termo a termo? Para quais valores de x a
A série tg ⁡ x = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + 17 x 7 315 + 62 x 9 2835 + … Converge para tg ⁡ x para - π 2xπ 2 . a. Encontre os cinco primeiros termos da série para ln ⁡ sec ⁡ x .Para quais valores de x a s