Utilize operações de séries de potências para encontrar a série de Taylor em x = 0 para as funções nos Exercícios 11-28.

e^x + 1 / (1 + x)

Passo 1

Iaiii galera, espero que estejam bem! Vamos lá pra mais uma questão de Séries de Taylor!

O que vamos fazer aqui é usar uma série já conhecida de Taylor para definir a função dessa série, e depois adequar para a série que é trazida no enunciado.

As séries que conhecemos que são passíveis de usarmos nesse caso são as seguintes:

e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + …

E também usaremos a seguinte:

1 1 + x = 1 - x + x 2 - x 3 + …

Passo 2

Portanto, podemos dizer que os termos da série do enunciado vão ser calculados da forma abaixo:

e x + 1 1 + x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + … + 1 - x + x 2 - x 3 + …

Simplificando matematicamente, podemos dizer que:

e x + 1 1 + x = 2 + 3 2 x 2 - 5 6 x 3 + 25 24 x 4 + …

Passo 3

Podemos assim escrever a função da nossa série:

e x + 1 1 + x = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! + - 1 n x n

Temos então que:

∑ n = 0 ∞ 1 n ! + - 1 n x n = 2 + 3 2 x 2 - 5 6 x 3 + 25 24 x 4 + …

Resposta

∑ n = 0 ∞ 1 n ! + - 1 n x n = 2 + 3 2 x 2 - 5 6 x 3 + 25 24 x 4 + …

Valeu galera! Nos vemos na próxima questão!

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