Utilize a substituição (como no Exemplo 4) para encontrar a série de Taylor em x = 0 das funções nos Exercícios 1-10.

5 sen(-x)

Passo 1

Iai, meus queridos, como vocês estão? Espero que bem! Hoje a série não é Casa do Dragão, e sim a de Taylor, bora comigo!

Nosso primeiro passo aqui é escrever os termos da série que é trazida no enunciado.

Uma vez que a série trazida no enunciado é conhecida, sabemos que ela tem somente termos de ordem ímpar, e se a gente considerar que n = 2 k + 1 , o teorema de Taylor nos dá os seguintes termos:

s e n   x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - …

Podemos então escrever a função dessa série como:

s e n   x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 !

Passo 2

Agora que já sabemos a estrutura da série, podemos adaptar essa estrutura à série trazida no enunciado. Dessa forma, temos:

5   s e n   - x = [ - x - - x 3 3 ! + - x 5 5 ! - … ]

Ou seja, a série de Taylor pra esse caso vai ser igual a:

5   s e n   - x = ∑ n = 0 ∞ 5 - 1 n + 1 x 2 n + 1 2 n + 1 !

Resposta

∑ n = 0 ∞ 5 - 1 n + 1 x 2 n + 1 2 n + 1 ! = [ - x - - x 3 3 ! + - x 5 5 ! - … ]

Tranquilo né? Até a próxima, galera!

Exercícios de Livros Relacionados

Utilize a identidade seno^2(n*x) = (1 - cos(2*x)) / 2 para obter a série de Maclaurin para se^2 * n^2 * x . Então derive essa série para obter a série de Maclaurin para 2 sen(x) cos(x) . Verifique que
Seja P uma aproximação de pi precisa de até n casa decimais. Mostre que P + sen P dá uma aproximação correta para 3n casas decimais. (Sugestão: considere P = pi + x Tente fazer isso com uma calculador
Por aproximadamente quais valores de x você pode substituir sen(x) = x^3 / 6 com um erro de magnitude não superior a 5 * 10^(-4) ? Justifique sua resposta.
Utilize a fórmula de Taylor com n = 2 para encontrar a aproximação quadrática de f(x) = (1 + x)^k em x = 0 (k sendo uma constante).Se k = 3 , para aproximadamente quais valores de x no intervalo [0,1]
Mostre que, se o gráfico de uma função f(x) duas vezes derivável possui um ponto de inflexão x = a , então a linearização de f em x = a é também a aproximação quadrática de f em x = a . Isso explica p