Enunciado

Utilize a substituição (como no Exemplo 4) para encontrar a série de Taylor em x = 0 das funções nos Exercícios 1-10.

5   s e n   ( - x )

Passo 1

Iai, meus queridos, como vocês estão? Espero que bem! Hoje a série não é Casa do Dragão, e sim a de Taylor, bora comigo!

Nosso primeiro passo aqui é escrever os termos da série que é trazida no enunciado.

Uma vez que a série trazida no enunciado é conhecida, sabemos que ela tem somente termos de ordem ímpar, e se a gente considerar que n = 2 k + 1 , o teorema de Taylor nos dá os seguintes termos:

s e n   x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - …

Podemos então escrever a função dessa série como:

s e n   x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 !

Passo 2

Agora que já sabemos a estrutura da série, podemos adaptar essa estrutura à série trazida no enunciado. Dessa forma, temos:

5   s e n   - x = [ - x - - x 3 3 ! + - x 5 5 ! - … ]

Ou seja, a série de Taylor pra esse caso vai ser igual a:

5   s e n   - x = ∑ n = 0 ∞ 5 - 1 n + 1 x 2 n + 1 2 n + 1 !

Resposta

∑ n = 0 ∞ 5 - 1 n + 1 x 2 n + 1 2 n + 1 ! = [ - x - - x 3 3 ! + - x 5 5 ! - … ]

Tranquilo né? Até a próxima, galera!

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