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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.5 - Ex. 8

Utilize a Regra da Cadeia para determinar ∂ z / ∂ s e ∂ z / ∂ t .

8-

z = x y ,         x = s e t ,       y = 1 + s e - t

Passo 1

Faaaaala galera! Essa questão nos deu a função

z = e x y tg ⁡ y ,

onde x = s + 2 t e y = s / t e quer que a gente determine as derivadas ∂ z / ∂ s e ∂ z / ∂ t .

Veja que z   não depende explicitamente de s e t , mas indiretamente por meio de x e y . Dessa forma, vamos precisar da regra da cadeia!

Para uma variável, se temos uma função f ( x ) , onde x = x ( t ) , a derivada de f com relação a t seria:

d f x d t = d f d x ⋅ d x d t

Assim, se temos uma função z = f ( x , y ) , onde x e y são funções de um parâmetro t , fazemos a mesma coisa para cada variável e somamos os resultados:

∂ f x , y ∂ t = ∂ z ∂ x ⋅ ∂ x ∂ t +   ∂ z ∂ y ⋅ ∂ y ∂ t

Da mesma forma, se x e y dependem de um parâmetro s , teremos:

∂ z ∂ s = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ s + ∂ z �� y ∂ y ∂ s

Então, nessa questão, o nosso trabalho é calcular essas derivadas e substituir nas expressões para ∂ z / ∂ s e ∂ z / ∂ t .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando ∂ z / ∂ s :

Para lembrar,

z = x y

x = s e t ,       y = 1 + s e - t

E temos que calcular:

∂ z ∂ s = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ s + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ s

Então, derivando parcialmente com relação a x , obtemos:

∂ z ∂ x = ∂ ∂ x x y

∂ z ∂ x = 1 y

Derivando x com relação a s :

∂ x ∂ s = ∂ ∂ s s   e t = e t

Agora vamos derivar z com relação a y :

∂ z ∂ y = ∂ ∂ y x y

∂ z ∂ y = - x y 2

Por fim, derivamos y com relação a s :

∂ y ∂ s = ∂ ∂ s 1 + s e - t

∂ y ∂ s = e - t

Logo:

∂ z ∂ s = 1 y   e t - x y 2 e - t

Passo 3

Temos que seguir os mesmos procedimentos para calcular:

∂ z ∂ t = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ t

Note que já temos as derivadas ∂ z ∂ x   e ∂ z ∂ y . Então basta calcular as derivadas de x e y com relação a t :

Lembrando que

x = s e t ,       y = 1 + s e - t

∂ x ∂ t = ∂ ∂ t s e t = s ⋅ e t

∂ y ∂ t = ∂ ∂ t 1 + s e - t = - s ⋅ e - t

Logo:

∂ z ∂ t = 1 y   s e t + s x y 2 e - t

Resposta

∂ z ∂ s = 1 y   e t - x y 2 e - t

∂ z ∂ t = 1 y   s e t + s x y 2 e - t

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