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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.5 - Ex. 9

Utilize a Regra da Cadeia para determinar ∂ z / ∂ s e ∂ z / ∂ t

z = arctan ⁡ 2 x + y ,   x = s 2 t ,   y = s   l n   t

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de derivadas parciais com regra da cadeia, vamos lá!

A questão nos dá a função z = arctan ⁡ 2 x + y e as “variáveis” x = s 2 t e y = s   l n   t , e pede para que encontremos a derivada d z d t , mas como chegamos nela?

Ai que entra a regra da cadeia para funções de múltiplas variáveis!

Para uma função no formato z ( x , y ) onde x = x ( s ,   t ) e y = y ( s ,   t ) , a derivada d z / d t pode ser definida como:

d z d t =   ∂ z ∂ x ⋅ d x d t + ∂ z ∂ y ⋅ d y d t

Ou ainda

d z d t =   z x ⋅ d x d t + z y ⋅ d y d t

E da mesma forma a derivada d z / d s pode ser definida como:

∂ z ∂ s =   ∂ z ∂ x ⋅ ∂ x ∂ s +   ∂ z ∂ y ⋅ ∂ y ∂ s

Ou

∂ z ∂ s =   z x ⋅ ∂ x ∂ s +   z y ⋅ ∂ y ∂ s

Então nossa estratégia vai ser definir todos os termos dessa fórmula e encontrar a derivada do enunciado!

Passo 2

Precisamos encontrar todas essas derivadas para montar nossa expressão! Relembrando: Para calcular derivadas parciais nós tratamos como constante as variáveis que não estão envolvidas na derivação!

Dessa forma, para encontrar z x , tratamos y como constante e derivamos a função z em x :

z ( x ) = arctan ⁡ 2 x + y

∂ z ∂ x = d   arctan ⁡ 2 x + y d x

Que pode ser resolvido usando a regra da cadeia!

Lembrando do formato da regra da cadeia:

Se temos uma função

z = f ( g x )

Onde podemos chamar

g x = u

A derivada dessa função vai ser dada por:

d z d x = d f u d u ⋅ d g x d x

De forma que

d z d x = d   a r c t a n u d u ⋅ d ( 2 x + y ) d x

Relembrando, a derivada da função arctan ⁡ ( u ) é 1 1 + u ² , assim

∂ z ∂ x = 1 1 + 2 x + y 2 ⋅ 2

z x = 2 1 + 2 x + y 2

Da mesma forma, agora vamos encontrar z y

z ( y ) = arctan ⁡ 2 x + y

∂ z ∂ y = d   arctan ⁡ 2 x + y d y

De forma que

d z d y = d   a r c t a n u d u ⋅ d ( 2 x + y ) d y

∂ z ∂ y = 1 1 + 2 x + y 2

z y = 1 1 + 2 x + y 2

Passo 3

Agora vamos definir as derivadas de x e y em t !

Para encontrar d x / d t nós derivamos a função x em t enquanto tornamos y constante:

x = s ² t

d x d t = s ² d t d t

d x d t = s ²

E agora encontrando d y / d t

y = s   l n   t

d y d t = s d l n   t d t

d y d t = s t

Agora já temos todos os termos necessários para encontrar d z / d t , de forma que substituindo na fórmula teremos

d z d t =   z x ⋅ d x d t + z y ⋅ d y d t

d z d t = 2 1 + 2 x + y 2 s ² + 1 1 + 2 x + y 2 s t

d z d t = 2 s ² + s / t 1 + 2 x + y 2

Passo 4

Agora vamos fazer a mesma coisa, mas para a variável s !

Para encontrar d x / d s nós derivamos a função x em s enquanto tornamos y constante:

x = s ² t

d x d s = t d s ² d s

d x d s = 2 t s

E agora encontrando d y / d s

y = s   l n   t

d y d s = ln ⁡ t d s d s

d y d s = ln ⁡ t

Agora já temos todos os termos necessários para encontrar d z / d s , de forma que substituindo na fórmula teremos

∂ z ∂ s =   z x ⋅ ∂ x ∂ s +   z y ⋅ ∂ y ∂ s

∂ z ∂ s = 2 1 + 2 x + y 2 ⋅ 2 t s + 1 1 + 2 x + y 2 ⋅ ln ⁡ t

d z d s = 4 t s + l n   t 1 + 2 x + y 2

Resposta

∂ z ∂ t = 2 s 2 + s / t 1 + 2 x + y 2

∂ z ∂ s = 4 s t + ln ⁡ t 1 + 2 x + y 2

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