Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.5 - Ex. 42
Um fabricante modelou sua função da produção anual (o valor de toda essa produção em milhões de dólares) como uma função Cobb-Douglas
onde é o número de horas trabalhadas (em milhares) e é o capital investido (em milhões de dólares). Suponha que quando e , a força de trabalho esteja decrescendo em uma taxa de horas trabalhadas por ano e o capital esteja aumentando em uma taxa de por ano. Encontre a taxa de variação da produção.
Passo 1
Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de regra da cadeia, vamos la!
A questão da um contexto bonitinho pra função produção
e pede para acharmos sua taxa de variação, isto pe
quando , . a taxa de variação de for
e a taxa de variação do capital for
Mas como encontramos isso usando esses dados Com a regra da cadeia para múltiplas variáveis! Seja uma função onde e , temos então que a derivada dessa função em é dada por:
Dessa forma, só precisamos definir todos os termos dessa fórmula e teremos nossa resposta!
Passo 2
Temos
Encontrando as derivadas parciais dessa função, temos
Para
Ou ainda
Para
Ou ainda
Substituindo os valores de e , temos
Passo 3
Desta forma, substituindo os valores na fórmula da regra da cadeia, temos
De forma que, a taxa de variação buscada é