Um fabricante modelou sua função P da produção anual (o valor de toda essa produção em milhões de dólares) como uma função Cobb-Douglas

P L ,   K = 1,47   L 0,65 K 0,35

onde L é o número de horas trabalhadas (em milhares) e K é o capital investido (em milhões de dólares). Suponha que quando L = 30 e K = 8 , a força de trabalho esteja decrescendo em uma taxa de 2000 horas trabalhadas por ano e o capital esteja aumentando em uma taxa de $   500000 por ano. Encontre a taxa de variação da produção.

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de regra da cadeia, vamos la!

A questão da um contexto bonitinho pra função produção

P L ,   K = 1,47   L 0,65 K 0,35

e pede para acharmos sua taxa de variação, isto pe

quando L = 30 , K = 8 . a taxa de variação de L for

d L d t = - 2

e a taxa de variação do capital for

d K d t = 0,5

Mas como encontramos isso usando esses dados Com a regra da cadeia para múltiplas variáveis! Seja uma função P L ,   K onde L = L ( t ) e K = K ( t ) , temos então que a derivada dessa função em t é dada por:

d P d t = ∂ P ∂ L ⋅ d L d t + ∂ P ∂ K ⋅ d K d t

Dessa forma, só precisamos definir todos os termos dessa fórmula e teremos nossa resposta!

Passo 2

Temos

P L ,   K = 1,47   L 0,65 K 0,35

Encontrando as derivadas parciais dessa função, temos

Para L

∂ P ∂ L = ∂   1,47   L 0,65 K 0,35 ∂ L

∂ P ∂ L = 1,47 ⋅ 0,65   L - 0,35 K 0,35

Ou ainda

∂ P ∂ L = 0,9555   K L 0,35

Para K

∂ P ∂ K = ∂   1,47   L 0,65 K 0,35 ∂ K

∂ P ∂ K = 1,47 ⋅ 0,35   L 0,65 K - 0,6 5

Ou ainda

∂ P ∂ K = 0,5145   L K 0,65

Substituindo os valores de L = 30 e K = 8 , temos

∂ P ∂ L = 0,601

∂ P ∂ K = 1,215

Passo 3

Desta forma, substituindo os valores na fórmula da regra da cadeia, temos

d P d t = ∂ P ∂ L ⋅ d L d t + ∂ P ∂ K ⋅ d K d t

d P d t = 0,601 ⋅ - 2 + 1,215 ⋅ 0,5

De forma que, a taxa de variação buscada é

d P d t = - 0,5945

Resposta

d P d t = - 0,5945

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14.20. Utilize o grafo da árvore para escrever a Regra da Cadeia para o caso dado. Assuma que todas as funções sejam diferenciáveis.u = f(s, t) , onde s = s(w, x, y, z) , t = t(w, x, y, z)
Utilize o grafo da árvore para escrever a Regra da Cadeia para o caso dado. Assuma que todas as funções sejam diferenciáveis.18- w = f x , y , z ,o n d e x = x t , u , y = y t , u ,z = z ( t , u )
Utilize o grafo da árvore para escrever a Regra da Cadeia para o caso dado. Assuma que todas as funções sejam diferenciáveis.v = f(p, q, r), onde p = p(x, y, z), q = q(x, y, z), r = r(x, y, z)
Utilize a Regra da Cadeia para determinar ∂z / ∂s e ∂z/∂t .7-z = x^2 + xy + y^2, x = s + t, y = st
Utilize a Regra da Cadeia para determinar ∂z/∂s e ∂z/∂t .8-z = x / y, x = s * e^t, y = 1 + s * e^(-t)