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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.5 - Ex. 23

Utilize a regra da cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.

w = x y + y z + z x ,             x = r cos ⁡ θ ,             y = r   s e n   θ ,             z = r θ ;

∂ w ∂ r ,     ∂ w ∂ θ               q u a n d o   r = 2     e     θ = π 2

Passo 1

Fala, galera! Tudo certinho?

Nesse problema nós temos a função w = x y + y z + z x , que é uma função de três variáveis. Essas três variáveis dependem ainda de duas variáveis, r e θ .

Sabendo disso, precisamos calcular

∂ w ∂ r     e     ∂ w ∂ θ

quando r = 2 e θ = π 2 .

Para calcular essas derivadas nós vamos precisar da regra da cadeia, visto que w não depende diretamente de r e θ .  

Para uma variável, se temos uma função f ( x ) onde x = x ( t ) e queremos determinar a derivada de f com relação a esse parâmetro t , devemos fazer

d f d t = d f d x ⋅ d x d t

Analogamente, se temos uma função w = f ( x , y , z ) , onde essas variáveis dependem de outras duas variáveis r e θ , devemos aplicar a mesma lógica acima. Cada variável da função f vai dar origem a um termo, portanto teremos a soma de três termos:

∂ w ∂ r = ∂ w ∂ x ⋅ ∂ x ∂ r + ∂ w ∂ y ⋅ ∂ y ∂ r + ∂ w ∂ z ⋅ ∂ z ∂ r

Da mesma forma, em relação à variável θ , teremos:

∂ w ∂ θ = ∂ w ∂ x ⋅ ∂ x ∂ θ + ∂ w ∂ y ⋅ ∂ y ∂ θ + ∂ w ∂ z ⋅ ∂ z ∂ θ

Beleza? Então vamos às contas...

Passo 2

Vamos tomar as derivadas com relação a x , y e z :

Lembrando que w = x y + x z + y z , teremos

∂ w ∂ x = y + z

∂ w ∂ y = x + z

∂ w ∂ z = x + y

Quando r = 2 e θ = π / 2 , temos que

x = 2 cos ⁡ π 2 = 0

y = 2   s e n π 2 = 2

z = 2 ⋅ π 2 = π

Assim,

∂ w ∂ x = 2 + π

∂ w ∂ y = π

∂ w ∂ z = 2

Passo 3

Agora fazemos as derivadas de x , y e z com relação a r e θ :

Lembrando que   x = r cos ⁡ θ ,             y = r   s e n   θ ,             z = r θ , teremos:

∂ x ∂ r = cos ⁡ θ             e           ∂ x ∂ θ = - r   s e n   θ

∂ y ∂ r = s e n   θ             e           ∂ y ∂ θ = r cos ⁡ θ

∂ z ∂ r = θ             e           ∂ z ∂ θ = r

Assim, com r = 2 e θ = π / 2 :

∂ x ∂ r = 0             e           ∂ x ∂ θ = - 2

∂ y ∂ r = 1             e           ∂ y ∂ θ = 0

∂ z ∂ r = π 2             e           ∂ z ∂ θ = 2

Passo 4

Portanto, juntando todos os resultados obtidos acima:

∂ w ∂ r = ∂ w ∂ x ⋅ ∂ x ∂ r + ∂ w ∂ y ⋅ ∂ y ∂ r + ∂ w ∂ z ⋅ ∂ z ∂ r = 2 + π ⋅ 0 + π ⋅ 1 + 2 ⋅ π 2

Logo,

∂ w ∂ r = 2 π

Analogamente,

∂ w ∂ θ = ∂ w ∂ x ⋅ ∂ x ∂ θ + ∂ w ∂ y ⋅ ∂ y ∂ θ + ∂ w ∂ z ⋅ ∂ z ∂ θ = 2 + π ⋅ ( - 2 ) + π ⋅ 0 + 2 ⋅ 2

Então,

∂ w ∂ θ = - 2 π

Resposta

∂ w ∂ r = 2 π

∂ w ∂ θ = - 2 π

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