Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.5 - Ex. 23
Utilize a Regra da cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
Quando .
Passo 1
Oie, tudo bem? Vamos resolver juntos essa atividade?
Dada a função:
Queremos encontrar:
As derivadas parciais de , sendo que possui as seguintes parametrizações:
A determinação da derivada de uma função em relação a uma variável pode envolver a derivação de
funções compostas. Caso isso ocorra, é importante saber aplicar a regra da cadeia. De um jeito prático, pensamos em derivar a função de “fora” primeiro e seguimos com as que a compõem internamente.
Para se encontrar o diferencial devemos utilizar da seguinte relação:
E para :
Veja que teremos que calcular várias derivadas parciais aqui. E para o nosso caso, como temos uma função composta, deveremos ainda aplicar a regra da cadeia para a nossa função.
Passo 2
Seja a função vamos encontrar primeiro :
Temos então:
Calculando :
Aqui deveremos aplicar a regra da cadeia:
Vamos agora encontrar então :
Derivando:
Partimos agora para :
Calculando :
Aqui deveremos aplicar a regra da cadeia:
Teremos então nossa derivada:
Passo 3
Vamos calcular agora a derivada :
Derivando em relação a :
Última derivada parcial de , teremos :
Calculando :
Aqui deveremos aplicar a regra da cadeia:
Teremos então nossa derivada:
E agora teremos a última derivada para encontrarmos , :
Agora a gente pode montar e encontrar :
Temos então a nossa primeira descoberta:
Vamos agora encontrar , para isso precisamos encontrar apenas as derivadas parciais que faltam, que são e .
Passo 4
Vamos então encontrar :
Encontrando primeiro :
Derivando em relação a :
Hora de encontrar :
E por último iremos encontrar :
Podemos então encontrar finalmente :
Uma vez dados os valores das variáveis, podemos calcular o valor das derivadas parciais.
Veja:
Assim: