Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.

f(x, y) = x^5 + 3 + x^3 * y^2 + 3 * y^4

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de derivadas parciais, vamos lá!

A questão nos pede para encontrar as derivadas de primeira ordem da função (nesse caso f x e f y , uma para cada variável)

f x , y = x 5 + 3 x 3 y 2 + 3 x y 4

mas como fazemos isso?

É de boa: Para encontrar a derivada f x , por exemplo, nós tratamos y e z como constantes e derivamos a função f em x normalmente!

Passo 2

Para encontrar f x tratamos y como constante e derivamos a função f em x !

De forma que temos

f x = x 5 + 3 x 3 y 2 + 3 x y 4

∂ f ∂ x = d   ( x 5 + 3 x 3 y 2 + 3 x y 4 ) d x

Ou ainda

∂ f ∂ x = d x 5 d x + 3 y 2 d x 3 d x + 3 y 4 d x d x

De forma que

f x = 5 x 4 + 9 x 2 y 2 + 3 y 4

Passo 3

E da mesma forma, para encontrar f y tratamos x como constante e derivamos a função f em y !

De forma que temos

f y = x 5 + 3 x 3 y 2 + 3 x y 4

∂ f ∂ y = d   ( x 5 + 3 x 3 y 2 + 3 x y 4 ) d y

Ou ainda

∂ f ∂ x = 0 + 3 x 3 d y 2 d x + 3 x d y 4 d x

De forma que

f y =   6 x 3 y + 12 x y 3

Resposta

f x = 5 x 4 + 9 x 2 y 2 + 3 y 4

f y = 6 x ³ y + 12 x y 3

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