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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.5 - Ex. 1

Use a regra da cadeia para determinar d z d t ou d w d t :

z = x 2 y + x y 2 ,   x = 2 + t 4   ,   y = 1 - t 3

Passo 1

Oie, tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa atividade.

Veja que temos a seguinte curva:

z = x 2 y + x y 2

E suas parametrizações:

x = 2 + t 4   ,   y = 1 - t 3

E queremos encontrar o diferencial:

d z d t

A determinação da derivada de uma função em relação a uma variável pode envolver a derivação de funções compostas. Caso isso ocorra, é importante saber aplicar a regra da cadeia. De um jeito prático, pensamos em derivar a função de “fora” primeiro e seguimos com as que a compõem internamente.

Iremos na pratica realizar o seguinte:

d z d t =   ∂ z ∂ x . d x d t   + ∂ z ∂ y . d y d t

Precisaremos então derivar diversas vezes para que enfim possamos encontrar o diferencial da nossa curva em relação a t . Precisamos de derivadas parciais ∂ e das derivadas das parametrizações.

Passo 2

Dada a função z = x ² y + x y ² , com x = 2 + t 4 e y = 1 - t ³ , devemos determinar d z d t . Para isso, devemos usar a regra da cadeia com relação às duas variáveis x e y . Isto é, d z d t será obtido a partir da soma das derivadas parciais.

Veja:

d z d t =   ∂ z ∂ x . d x d t   + ∂ z ∂ y . d y d t

Uma vez compreendida a maneira como a função z é composta, basta aplicarmos a regra da cadeia. Portanto:

Primeiro vamos calcular z x :

z = x 2 y + x y 2

Derivando parcialmente em relação a x :

∂ z ∂ x = ∂ ∂ x x 2 y + ∂ ∂ x x y 2

Derivando apenas em relação a x e mantendo y como constante:

∂ z ∂ x = 2 x y + y 2

Vamos agora encontrar x ' :

x = 2 + t 4

Derivando:

d x d t = d d t 2 + t 4

d x d t = 4 t 3

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada parcial z y :

z = x 2 y + x y 2

Derivando parcialmente em relação a y :

∂ z ∂ y = ∂ ∂ y x 2 y + ∂ ∂ y x y 2

∂ z ∂ y = ∂ ∂ y x 2 + ∂ ∂ y x 2 y

Por últimos devemos calcular y ' :

y = 1 - t 3

Então derivando:

d y d t = - 3 t 2

Agora a gente pode organizar tudo:

d z d t =   ∂ z ∂ x . d x d t   + ∂ z ∂ y . d y d t

d z d t = 2 x y + y 2   ⋅ 4 t 3   +   x 2 + 2 x y ⋅ - 3 t 2

Teremos então:

d z d t = 4 t 3 2 x y + y 2 - 3 t ² ( x 2 + 2 x y )

Resposta

d z d t = 4 t 3 2 x y + y 2 - 3 t ² ( x 2 + 2 x y )

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Use a regra da cadeia para achar d z // d t .z = sqrt(1 + x^2 + y^2) , x = ln t e y = cos t
1-6. Use a Regra da Cadeia para achar d z d t ou d w d t .3. z = s e nx ⋅ cos ⁡ y ,x = t ,y = 1 t
1-6. Use a Regra da Cadeia para achar d z d t ou d w d t .1. z = x y 3 - x 2 y ,x = t 2 + 1 ,y = t 2 - 1
1-6. Use a Regra da Cadeia para achar d z d t ou d w d t .4. z = 1 + x y ,x = tan ⁡ t ,y = a r c tan ⁡ t
7-12. Use a Regra da Cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t .10. z = x e x y ,x = 1 + s t ,y = s 2 - t ² ²