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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.5 - Ex. 24

Utilize a Regra da cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.

M = x e y - z 2

x = 2 u v   ,   y = u - v   ,   z = u + v

∂ M ∂ u   ; ∂ M ∂ v

Quando u = 3   ,   v =   - 1

Passo 1

Oie, tudo bem? Vamos resolver juntos essa atividade?

Dada a função:

M = x e y - z 2

Queremos encontrar:

∂ M ∂ u   ; ∂ M ∂ v

As derivadas parciais de R , sendo que R possui as seguintes parametrizações:

x = 2 u v   ,   y = u - v   ,   z = u + v

A determinação da derivada de uma função em relação a uma variável pode envolver a derivação de

funções compostas. Caso isso ocorra, é importante saber aplicar a regra da cadeia. De um jeito prático, pensamos em derivar a função de “fora” primeiro e seguimos com as que a compõem internamente.

Para se encontrar o diferencial ∂ M ∂ u   devemos utilizar da seguinte relação:

∂ M ∂ u =   ∂ M ∂ x ⋅ ∂ x ∂ u +   ∂ M ∂ y ⋅ ∂ y ∂ u + ∂ M ∂ z ⋅ ∂ z ∂ u

E para ∂ M ∂ v :

∂ M ∂ v =   ∂ M ∂ x ⋅ ∂ x ∂ v +   ∂ M ∂ y ⋅ ∂ y ∂ v + ∂ M ∂ z ⋅ ∂ z ∂ v

Veja que teremos que calcular várias derivadas parciais aqui. E para o nosso caso, como temos uma função composta, deveremos ainda aplicar a regra da cadeia para a nossa função.

Passo 2

Seja a função M = x ⋅ e y - z ² ,   onde x = 2 u v , y = u - v ,   z = u + v queremos encontrar agora as derivadas parciais para determinar M u , iremos começar com M x :

M = x e y - z 2

Derivando parcialmente em relação a x :

M x = ∂ ∂ x x e y - z 2

Derivando apenas em relação a x :

M x = e y - z 2

Agora vamos procurar encontrar x v :

x = 2 u v

x v = ∂ ∂ v 2 u v

Derivando apenas em relação a v :

x v = 2 u

Partindo agora para encontrar M y :

M = x e y - z 2

Veja que deveremos aqui aplicar a regra da cadeia por conta da composição de funções:

M y = x ∂ ∂ y e g y ⋅ ∂ ∂ y y - z 2

Temos então:

M y = x ⋅ e y - z 2 ⋅ 1

Agora precisamos encontrar y u :

y = u - v

y u = ∂ u - v ∂ u

y u = 1

Foi rápido dessa vez, precisamos encontrar mais duas derivadas parciais, primeiro M z :

M = x e y - z 2

M z = x ∂ ∂ z e g z ⋅ ∂ ∂ z y - z 2

Veja que tivemos de aplicar a regra da cadeia por conta da composição de funções:

M z = - x ⋅ e y - z 2 ⋅ 2 z

Passo 3

Vamos encontrar agora Z u :

z = u + v

Derivando em relação a u :

z u = ∂ ∂ u u + v

z u = 1  

Agora que encontramos tudo, podemos montar nossa derivada parcial:

∂ M ∂ u =   ∂ M ∂ x ⋅ ∂ x ∂ u +   ∂ M ∂ y ⋅ ∂ y ∂ u + ∂ M ∂ z ⋅ ∂ z ∂ u

∂ M ∂ u = e y - z ² ⋅ 2 v +   x ⋅ e y - z 2 ⋅ 1 + x ⋅ e y - z 2 ⋅ - 2 z ⋅ 1

Agora a gente precisa encontrar M v , para isso precisaremos apenas calcular as derivadas parciais das parametrizações em relação a v , vamos começar com a de x :

x = 2 u v

x v = ∂ 2 u v ∂ v

x v = 2 u

Agora vamos para o y v :

y = u - v

y v = ∂ ∂ v u - v

y v = - 1

Por último iremos encontrar z v :

z = u + v

z v = ∂ u + v ∂ v

z v = 1

Agora a gente pode finalmente substituir na relação e quase finalizar nossa questão:

∂ M ∂ v =   ∂ M ∂ x ∂ x ∂ v +   ∂ M ∂ y ∂ y ∂ v + ∂ M ∂ z ∂ z ∂ v

∂ R ∂ v =   e y - z 2 ⋅ 2 u +   x ⋅ e y - z 2 ⋅ - 1 +   x ⋅ e y - z 2 ⋅ - 2 z ⋅ 1

Passo 4

Uma vez dados os valores das variáveis, podemos calcular o valor das derivadas parciais.

Veja:

u = 3 , v = - 1

x = 2 ⋅ 3 ⋅ - 1 = - 6

y = 3 - - 1 = 4

z = 3 - 1 = 2

∂ R ∂ u = e 4 - 2 2 ⋅ 2 - 1 + - 6 ⋅ e 4 - 2 2 ⋅ 1 +   - 6 ⋅ e 4 - 2 ⋅ - 2 ⋅ 2 ⋅ 1

∂ R ∂ u =   - 2 - 6 + 24 = 16

∂ R ∂ v = e 4 - 2 2 ⋅ 2 ⋅ 3 + - 6 ⋅ e 4 - 2 2 ⋅ - 1 + - 6 ⋅ e y - z 2 ⋅ - 2 ⋅ 2 ⋅ 1

∂ R ∂ v = 6 + 6 + 24 = 36

Resposta

∂ R ∂ u =   16

∂ R ∂ v = 36

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