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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.5 - Ex. 25

Utilize a Regra da cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.

u = x 2 + y z

x = p r cos ⁡ θ   ,   y = p r sin ⁡ θ ,   z = p + r

∂ u ∂ p   ; ∂ u ∂ r   ; ∂ u ∂ θ

Passo 1

Oie, tudo bem? Vamos resolver juntos essa atividade?

Dada a função:

u = x 2 + y z

Queremos encontrar:

∂ u ∂ p   ; ∂ u ∂ r   ; ∂ u ∂ θ

As derivadas parciais de R , sendo que R possui as seguintes parametrizações:

x = p r cos ⁡ θ   ,   y = p r sin ⁡ θ ,   z = p + r

A determinação da derivada de uma função em relação a uma variável pode envolver a derivação de

funções compostas. Caso isso ocorra, é importante saber aplicar a regra da cadeia. De um jeito prático, pensamos em derivar a função de “fora” primeiro e seguimos com as que a compõem internamente.

Para se encontrar o diferencial ∂ u ∂ p   devemos utilizar da seguinte relação:

∂ u ∂ p =   ∂ u ∂ x ∂ x ∂ p +   ∂ u ∂ y ∂ y ∂ p + ∂ u ∂ z ∂ z ∂ p

E para   ∂ u ∂ r :

∂ u ∂ r =   ∂ u ∂ x ∂ x ∂ r +   ∂ u ∂ y ∂ y ∂ r + ∂ u ∂ z ∂ z ∂ r

E para ∂ u ∂ θ   :

∂ u ∂ θ =   ∂ u ∂ x ∂ x ∂ θ +   ∂ u ∂ y ∂ y ∂ θ + ∂ u ∂ z ∂ z ∂ θ

Veja que teremos que calcular várias derivadas parciais aqui. E para o nosso caso, como temos uma função composta, deveremos ainda aplicar a regra da cadeia para a nossa função.

Passo 2

Seja a função u = x �� + y z , onde x = p ⋅ r ⋅ c o s θ ,   y = p ⋅ r ⋅ s e n θ ,   z = p + r , vamos encontrar as derivadas parciais necessárias para encontrarmos u p   ; u r   ; u θ . Vamos iniciar com u x :

u = x 2 + y z

Derivando em relação a x :

u x = ∂ x 2 + y z ∂ x

u x = 2 x

Agora a gente vai encontrar x p :

x = p r cos ⁡ θ

x p = ∂ ∂ p p r cos ⁡ θ

Derivando em relação a p :

x p = r cos ⁡ θ

Continuando nossa saga, iremos agora encontrar u y :

u = x 2 + y z

u y = ∂ ∂ y x 2 + y z

u y = z

Continuando, iremos encontrar agora y p :

y = p r sin ⁡ θ

y p = ∂ ∂ p p r sin ⁡ θ

Derivando em relação a p apenas:

y p = r sin ⁡ θ

Vamos agora encontrar u z :

u = x 2 + y z

u z = ∂ ∂ z x 2 + y z

u z = y

Vamos encontrar então o ultimo para finalizar:

  z = p + r

z p = ∂ ∂ p p + r

z p = 1

Agora podemos finalmente montar u p :

∂ u ∂ p =   ∂ u ∂ x ⋅ ∂ x ∂ p +   ∂ u ∂ y ⋅ ∂ y ∂ p + ∂ u ∂ z ⋅ ∂ z ∂ p

∂ u ∂ p = 2 x ⋅ r ⋅ c o s θ + z ⋅ r ⋅ s e n θ + y ⋅ 1

Passo 3

Para os outros diferenciais deveremos calcular as derivadas parciais das parametrizações apenas:

x = p r cos ⁡ θ   ,   y = p r sin ⁡ θ ,   z = p + r

Vamos calcular x r :

x = p r cos ⁡ θ

Derivando em relação a r :

x r = p cos ⁡ θ

Agora vamos encontrar y r :

  y = p r sin ⁡ θ

Derivando em relação a r :

y r = p sin ⁡ θ

Falta apenas encontrarmos z r :

z = p + r

z r = ∂ ∂ r p + r

z r = 1

Agora podemos então montar u r :

∂ u ∂ r =   ∂ u ∂ x ∂ x ∂ r +   ∂ u ∂ y ∂ y ∂ r + ∂ u ∂ z ∂ z ∂ r

∂ u ∂ r =   2 x ⋅ p ⋅ c o s θ + z ⋅ p ⋅ s e n θ + y ⋅ 1

Falta apenas agora encontrarmos u θ e para isso devemos encontrar as derivadas parciais das parametrizações em relação a θ :

Vamos calcular x θ :

x = p r cos ⁡ θ

Derivando em relação a θ :

x θ = - p r sin ⁡ θ

Agora vamos encontrar y θ :

  y = p r sin ⁡ θ

Derivando em relação a θ :

y θ = r p cos ⁡ θ

Falta apenas encontrarmos z θ :

z = p + r

z θ = ∂ ∂ θ p + r

z r = 0

Podemos finalmente então montar u θ :

∂ u ∂ θ =   ∂ u ∂ x ∂ x ∂ θ +   ∂ u ∂ y ∂ y ∂ θ + ∂ u ∂ z ∂ z ∂ θ

∂ u ∂ θ =   2 x ⋅ p ⋅ r - s e n θ + z ⋅ p ⋅ r ⋅ c o s θ + y ⋅ 0

Passo 4

Uma vez dados os valores das variáveis, podemos calcular o valor das derivadas parciais.

Veja:

p = 2 , r = 3 , θ = 0

x = 2 ⋅ 3 ⋅ cos ⁡ 0 = 6

  y = 2 ⋅ 3 ⋅ s e n 0 = 0

z = 2 + 3 = 5

Assim:

  • ∂ u ∂ p =   2 ⋅ 6 ⋅ 3 ⋅ c o s   0   + 5 ⋅ 3 ⋅ s e n 0 + 0 ⋅ 1 = 36

  • ∂ u ∂ r =   2 ⋅ 6 ⋅ 2 ⋅ c o s   0   + 5 ⋅ 2 ⋅ s e n 0 + 0 ⋅ 1 = 24

  • ∂ u ∂ θ = 2 ⋅ 6 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ - s e n 0 + 5 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ c o s   0   + 0 ⋅ 0 = 30

Resposta

∂ u ∂ p = 36

∂ u ∂ r = 24

∂ u ∂ θ = 30

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