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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.6 - Ex. 4

Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo

f x , y = x ² y ³ -   y 4 ,                     2 ,   1 ,               θ = π / 4

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de derivada direcional, vamos lá!

A questão é bem direta: Ela nos dá uma função f x , y = x ² y ³ -   y 4 e pede para encontrarmos a derivada na direção do ângulo θ = π / 4 quando x ,   y = 2 ,   1 !

Mas como encontramos isso?

A derivada direcional de f num ponto ( a ,   b ) em uma direção u → unitária qualquer é dada por

D u f a ,   b = ∇ f a ,   b ⋅ u →

Mas de cara a gente vê que a nossa direção não é um vetor v → unitário, mas sim um ângulo! Dessa forma nós precisamos:

Transformar o ângulo θ em um vetor u → ;

Encontrar o gradiente de f ;

Substituir tudo na fórmula da derivada direcional.

Passo 2

Para transformar o ângulo θ em um vetor u → nós podemos fazer o seguinte

u → = cos ⁡ ( θ ) ⋅ i + s e n   θ ⋅ j

De forma que

u → = cos ⁡ ( π / 4 ) ⋅ i + s e n   π / 4 ⋅ j

Além disso, o gradiente ∇ f da função é o conjunto das derivadas parciais da função f , nesse caso f x e f y ! Assim

Para encontrar f x

∂ f ∂ x = ∂   ( x ² y ³ -   y 4 ) ∂ x  

∂ f ∂ x = 2 x y ³

Analogamente, temos

∂ f ∂ y = ∂   ( x ² y ³ -   y 4 ) ∂ y  

∂ f ∂ y = 3 x 2 y 2 - 4 y ³

De forma que

∇ f = ( 2 x y 3 , 3 x 2 y 2 - 4 y 3 )  

Passo 3

Substituindo tudo na equação da derivada direcional, temos

D u f a ,   b = ∇ f a ,   b ⋅ u →

D u f a ,   b = ( 2 x y 3 , 3 x 2 y 2 - 4 y 3 )   ⋅ ( cos ⁡ θ ,   s e n   θ )

Substituindo o ponto 2 ,   1 e realizando essa multiplicação escalar, temos

D u f a ,   b = 2 x y 3 ⋅ cos ⁡ θ + 3 x 2 y 2 - 4 y 3 ⋅ s e n   θ

D u f 2,1 = 2 ⋅ 2 ⋅ 1 3 ⋅ cos ⁡ π 4 + 3 ⋅ 2 2 ⋅ 1 2 - 4 ⋅ 1 3 ⋅ s e n π 4

D u f 2,1 = 4 2 2 + 12 - 4 2 2

D u f 2,1 = 6 2

Resposta

6 2

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Nos exercícios 2 a 6, calcular, usando a definição, a derivada direcional no ponto e direção indicados.6. f x ,y ,z = 2 x + 3 y - z ,P 1 ,1 ,- 1 na direção do eixo positivo dos y .
12. O Capitão Astro está outra vez em perigo perto da orbita de Mercúrio. Ele está na posição P 0 = ( 1,1 , 1 ) , e a temperatura de blindagem de sua espaçonave num ponto ( x , y , z ) é dada por T x
6- Seja f x ,y = x y x 2 + y 2 ,x ,y ≠ ( 0,0 ) 0 ,x ,y = ( 0,0 ) Mostre que:c) f ( x ,y ) possui derivadas direcionais em todas as direções no ponto 0 ,0 .
12. O Capitão Astro está outra vez em perigo perto da orbita de Mercúrio. Ele está na posição P 0 = ( 1,1 , 1 ) , e a temperatura de blindagem de sua espaçonave num ponto ( x , y , z ) é dada por T x